主成分分析

統計モデル解析特論I/II : 第06回 (11/12/19)

　いくつか(p個)の変量の値を情報の損失をできるだけ少なくして、少数変量(m個、m＜p)の総合的指標(主成分)で代表させる方法として主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)と因子分析(Factor Analysis, FA)がある。いくつかのテストの成績を総合した総合的成績、いろいろな症状を総合した総合的な重症度、種々の財務指標に基づく企業の評価等を求めたいといった場合に用いられる。 p変量(p次元)の観測値をm個(m次元)の主成分に縮約させるという意味で、次元を減少させる(reduce)方法と言うこともでき、多変量データを要約する有力な方法である。
　両者は似た目的に使われるが、元になっている考え方は異なるので利用する場面では注意が必要である。違いに焦点を当てながら説明する。今回は主成分分析を取り上げ、次回因子分析を取り上げる。

2変量の場合の主成分分析 : 理解を助けるため

定式化 : 配布資料 54ページ～
- 重み(係数) : a1、a2
- 合成変量(線形結合) : z
- よく代表するように、a1 と a2 を決める。
- より広がって測定できる軸に沿うと情報量が多い。
  　　　[参考:立体の測定] ノギス
- 全測定値の分散を最大化する軸を決定する。

身長と体重の総合指標を求めよう : プログラム : les0601.sas

 /* Lesson 06-1 */
 /*    File Name = les0601.sas   11/12/19   */
options nocenter linesize=78 pagesize=30;

proc printto log   = 'Kougi19/les0601_log.txt'
             print = 'Kougi19/les0601_Results.txt' new;

/* ods listing gpath='Kougi19/SAS_ODS99'; */

data gakusei;
  infile 'Kougi19/all19bu.csv'
    firstobs=2 
         truncover lrecl=80
         dlm=','  dsd missover
    ;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui 
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

/* if sex^='M' & sex^='F' then delete; */
if shintyou=. | taijyuu=. | kyoui=. then delete;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc plot data=gakusei;                        : 散布図
  plot shintyou*taijyuu;                       : 元の変量のプロット
run;                                           :
proc princomp cov data=gakusei out=outprin;    : 主成分分析(分散共分散行列)
  var shintyou taijyuu;                        : 2変量
run;                                           :
proc print data=outprin(obs=15);               : 結果の出力
run;                                           :
proc plot data=outprin;                        : 散布図
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;              : 主成分得点のプロット
run;                                           :
                                               : 参考までに、
proc sort data=outprin;                        : 説明のためにソートしてみる
  by prin1;                                    : 第一主成分で
run;                                           :
proc print data=outprin;                       : 体重がややが効いていることの確認
run;                                           :

出力結果 : les0601_Results.txt , les0601-output.pdf

身長と体重の散布図
各変量の平均、標準偏差、分散共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率 : 解釈に使う
固有ベクトル(係数a1とa2) : 解釈に使う
主成分得点 : 各個人の得点(z)、2つある
第1軸と第2軸の主成分得点の散布図
第1軸の小さいものから並べ直して状況を確かめてみる

2019年11月12日火曜日 11時22分53秒 2 Plot of shintyou*taijyuu. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc. 200 + | | | | A | A A A A 180 + A A C C B | AAA ABB B AB A | BCB AABB A shintyou | C ACACB AAA A A | C BBC BBA D | BA CA A AA 160 + BCCB AA | A ABBBBA A | A A AA A | A | AA | 140 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 taijyuu 2019年11月12日火曜日 11時22分53秒 3 PRINCOMP プロシジャオブザベーション数 122 変数の数 2 単純統計量 shintyou taijyuu Mean 167.7467213 59.06065574 StD 8.6343843 10.68154783 共分散行列 shintyou taijyuu shintyou 74.5525925 66.2839195 taijyuu 66.2839195 114.0954640 総分散 188.6480565 2019年11月12日火曜日 11時22分53秒 4 PRINCOMP プロシジャ共分散行列の固有値固有値差比率累積 1 163.493875 138.339693 0.8667 0.8667 2 25.154182 0.1333 1.0000 固有ベクトル Prin1 Prin2 shintyou 0.597562 0.801823 taijyuu 0.801823 -.597562 2019年11月12日火曜日 11時22分56秒 5 s h t k c i a j o a t n i k i d r s P P t j y t u r u r r O s y y o a k y u i i b e o u u k a e w n n s x u u i u i r a 1 2 1 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 -27.0582 -6.0834 2 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 -24.6777 -6.2361 3 F 150.0 46.0 86 40000 . -21.0771 -6.4252 4 F 151.7 41.5 80 J 35000 . -23.6694 -2.3730 5 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 -28.7020 1.7517 6 F 153.0 46.5 87 G 10000 . -18.8835 -4.3185 7 F 153.0 55.0 78 J 30000 . -12.0680 -9.3978 8 F 154.4 44.0 75 J 9000 au 2000 -20.0515 -1.7020 9 F 155.0 48.0 83 G 180000 . -16.4856 -3.6112 10 F 156.0 42.0 85 J 0 DoCoMo 15000 -20.6990 0.7760 11 F 156.0 46.0 82 J 10000 Vodafone 7000 -17.4917 -1.6142 12 F 156.0 48.0 70 J 30000 . -15.8881 -2.8094 13 F 156.0 49.0 85 J 25000 . -15.0863 -3.4069 14 F 156.0 50.0 82 J 40000 Vodafone 10000 -14.2844 -4.0045 15 M 156.0 61.0 90 J 0 . -5.4644 -10.5777 2019年11月12日火曜日 11時22分56秒 6 Plot of Prin2*Prin1. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc. Prin2 | | 20 + | | | | | | |A A 10 + | AB | | A AA BA B | A AB AA| AA A A | A AA B BA B A BB B A B B 0 +---------A--A-AA-DC--B--AAA--AA-C-AC----A-AAA-------------------------- | A A ABAAA B A A A A BB A AAAA A | A A A A A AA A | B A A A AA | A A| A A -10 + A A | A | | | | A | | A -20 + | | | -+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+ -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Prin1 2019年11月12日火曜日 11時22分56秒 7 s h t k c i a j o a t n i k i d r s P P t j y t u r u r r O s y y o a k y u i i b e o u u k a e w n n s x u u i u i r a 1 2 1 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 -28.7020 1.75166 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 -27.0582 -6.08337 3 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 -24.6777 -6.23613 4 F 151.7 41.5 80 J 35000 . -23.6694 -2.37304 5 F 150.0 46.0 86 40000 . -21.0771 -6.42517 6 F 156.0 42.0 85 J 0 DoCoMo 15000 -20.6990 0.77602 ≪中略≫ 94 M 173.0 68.0 93.0 30000 au 350 10.3069 -1.1296 95 M 171.0 70.0 89.0 J 60000 . 10.7154 -3.9284 96 M 177.0 66.0 87.0 G 40000 DoCoMo 6000 11.0935 3.2728 97 M 180.0 64.0 90.0 J 35000 . 11.2826 6.8734 98 M 180.0 64.0 90.0 G 60000 au 10000 11.2826 6.8734 99 M 176.0 67.0 83.0 G 0 . 11.2978 1.8734 100 M 172.0 70.0 90.0 J 30000 . 11.3130 -3.1266 101 M 175.0 68.0 80.0 150000 au 15000 11.5021 0.4740 102 M 178.0 66.0 95.0 J 30000 au 3000 11.6911 4.0746 103 M 173.8 69.6 90.0 J 30000 DoCoMo 13000 12.0679 -1.4443 104 M 180.0 65.0 88.0 J 30000 . 12.0844 6.2758 105 M 173.0 71.0 100 G 0 . 12.7124 -2.9223 106 M 172.0 72.0 89 G 150000 . 12.9167 -4.3217 107 M 175.0 70.0 95 G 50000 8000 13.1057 -0.7211 108 M 170.0 74.0 90 J 0 . 13.3252 -7.1205 109 173.0 72.0 90 J 0 1500 13.5142 -3.5199 110 177.0 70.0 86 J 0 5500 14.3008 0.8825 111 M 180.0 70.0 94 G 70000 au 5000 16.0935 3.2880

解釈方法
- 寄与率 : その軸がどの程度説明力を持っているか : 第1軸だけで十分(86.7%)。第2軸に含まれる説明力は小さい(13.3%)。
- 固有ベクトル : その軸の特徴を示している : 身長と体重の重みはほぼ同等だが、体重がやや大きめに効いている(第1軸)
- 主成分得点と散布図 : 各個人がどこに付置されているか
- 第1軸 : 全体的な体格の指標。身長と体重を足したような指標。

3変量以上の主成分分析

定式化 : 資料 71ページ～
- 2変量の時の考え方を拡張したもの
- 合成変量(線形結合) : z
- 合成変量の分散を最大化する軸を決定する。

身長、体重、胸囲での総合指標を求めてみよう : プログラム : les0602.sas
/* Lesson 06-1 */ /* File Name = les0602.sas 11/12/19 */ options nocenter linesize=78 pagesize=30; proc printto log = 'Kougi19/les0602_log.txt' print = 'Kougi19/les0602_Results.txt' new; /* ods listing gpath='Kougi19/SAS_ODS99'; */ data gakusei; infile 'Kougi19/all19bu.csv' firstobs=2 truncover lrecl=80 dlm=',' dsd missover ; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; /* if sex^='M' & sex^='F' then delete; */ if shintyou=. | taijyuu=. | kyoui=. then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc princomp cov data=gakusei out=outprin; : 主成分分析(分散共分散行列) var shintyou taijyuu kyoui; : 3変量 run; : proc print data=outprin(obs=15); : 結果の出力 run; : proc plot data=outprin; : 散布図 plot prin2*prin1/vref=0 href=0; : 主成分得点のプロット plot prin3*prin2/vref=0 href=0; : plot prin3*prin1/vref=0 href=0; : run; :

出力結果 : les0602_Results.txt , les0602-output.pdf

各変量の平均、標準偏差、共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                               2019年11月12日 火曜日 11時26分04秒  15
PRINCOMP プロシジャ

オブザベーション数              122
変数の数                          3

                     単純統計量
              shintyou           taijyuu             kyoui
Mean       167.7467213       59.06065574       86.06065574
StD          8.6343843       10.68154783        8.18762983

                       共分散行列
                  shintyou           taijyuu             kyoui
shintyou        74.5525925        66.2839195        21.3452418
taijyuu         66.2839195       114.0954640        41.6409186
kyoui           21.3452418        41.6409186        67.0372822

総分散    255.68533871

                               2019年11月12日 火曜日 11時26分04秒  16
PRINCOMP プロシジャ
               共分散行列の固有値
         固有値           差          比率         累積
   1    182.066441    131.507664      0.7121      0.7121
   2     50.558777     27.498656      0.1977      0.9098
   3     23.060121                    0.0902      1.0000

                固有ベクトル
                 Prin1         Prin2         Prin3
shintyou      0.539431      -.435853      0.720449
taijyuu       0.754749      -.129063      -.643193
kyoui         0.373320      0.890716      0.259339

                               2019年11月12日 火曜日 11時26分04秒  17
        s
        h     t          k      c
        i     a     j    o      a       t
        n     i   k i    d      r       s       P        P        P
        t     j   y t    u      r       u       r        r        r
 O  s   y     y   o a    k      y       u       i        i        i
 b  e   o     u   u k    a      e       w       n        n        n
 s  x   u     u   i u    i      r       a       1        2        3

  1 F 146.7 41.0 85 J  10000 Vodafone  6000 -25.3805  10.5595  -3.8217
  2 F 148.0 43.0 80 J  50000 DoCoMo    4000 -25.0363   5.2812  -5.4682
  3 F 150.0 46.0 86    40000              . -19.4533   9.3666  -4.4008
  4 F 151.7 41.5 80 J  35000              . -24.1726   3.8621  -1.8377
  5 F 152.0 35.0 77 J  60000 DoCoMo    2000 -30.0366   1.8981   1.7812
  6 F 153.0 46.5 87 G  10000              . -17.0843   8.8852  -2.3017
  7 F 153.0 55.0 78 J  30000              . -14.0288  -0.2283 -10.1029
  8 F 154.4 44.0 75 J   9000 au        2000 -22.6958  -2.0909  -2.7972
  9 F 155.0 48.0 83 G 180000              . -16.3666   4.2570  -2.8630
 10 F 156.0 42.0 85 J      0 DoCoMo   15000 -19.6090   6.3770   2.2353
 11 F 156.0 46.0 82 J  10000 Vodafone  7000 -17.7100   3.1886  -1.1155
 12 F 156.0 48.0 70 J  30000              . -20.6803  -7.7581  -5.5139
 13 F 156.0 49.0 85 J  25000              . -14.3258   5.4736  -2.2670
 14 F 156.0 50.0 82 J  40000 Vodafone 10000 -14.6910   2.6723  -3.6882
 15 M 156.0 61.0 90 J      0              .  -3.4022   8.3784  -8.6887

                               2019年11月12日 火曜日 11時26分04秒  18
           Plot of Prin2*Prin1.  Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
   20 +                            |
      |                            |       A
      |                            |  A                A           A
      |          A   A A         A |    A      A
      |          A   A   A AA   AB | A  AA
      |       A   A    AABEBAB A   B A D AA AAA   AA A      A
    0 +---------------AAABABAA-CAB-AA-AC--BBBB-AA-----------------------------
      |            A    A   A      |AAABA AC   AA
      |              A   A      A  B A A AA A
Prin2 |                        A   | C A A    A
      |                       A  A |
      |                            |
  -20 +                            |
      |                            |
      |                  A         |
      |                            |
      |                            |
      |                            |
  -40 +                            |    A
      -+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
      -40           -20            0            20            40            60
                                        Prin1

                               2019年11月12日 火曜日 11時26分04秒  19
           Plot of Prin3*Prin2.  Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
   20 +                                                  |
      |                                                  |
      |                                                  |
      |                                     A   A   AA A |
      |                                      AA A  A B B | AA
      |                                         AA   C BBGDEA  BA
    0 +-----------------------------------A----A--B-AAA-AEBGDCBAC-A----AA-----
      |                        A               A  AA  ACACACCCB  AB A   A
      |                                          A  A    |AA  B
Prin3 |                                                  A       A
      |                                                  |            A
      |                                                  |  A
  -20 +                                                  |
      |         A                                        |
      |                                                  |
      |                                                  |
      |                                                  |
      |                                                  |
  -40 +                                                  |
      -+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+
      -50       -40       -30       -20       -10        0        10        20
                                        Prin2

                               2019年11月12日 火曜日 11時26分04秒  20
           Plot of Prin3*Prin1.  Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
   20 +                            |
      |                            |
      |                            |
      |                          A | A  AA      A
      |                            A B B   C AA
      |       A      A   CAB B B A |ABADABB    BA
    0 +---------------ABB-EBBAABBB-CAA-C--AAC-AA-------A----------------------
      |          AAA A AAC AB  A   A ABBAABBAA    AA
      |          A   A          AA |         A              A
Prin3 |                  A       A |
      |                            |                               A
      |                            |                 A
  -20 +                            |
      |                            |    A
      |                            |
      |                            |
      |                            |
      |                            |
  -40 +                            |
      -+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
      -40           -20            0            20            40            60
                                        Prin1

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(累積の項 91.0%)。
- 各軸の意味付け
  - 第1軸 : 全体的な体格の因子。特に体重が効いている。
  - 第2軸 : 太さの因子(?)。胸囲が正で大きく、身長が負。
  - 第3軸 : 華奢さの因子(?)。無視しても良い軸であるが。(9.0%)。

相関行列を使う理由

変量によって測定単位が異なる
使う単位によって解析結果が異なる
分散の影響を受ける
各変量を標準化して用いる : 相関行列 <===> 分散共分散行列

相関行列を用いて体格の総合指標を求めてみよう : プログラム : les0603.sas

 /* Lesson 06-3 */
 /*    File Name = les0603.sas   11/12/19   */
options nocenter linesize=78 pagesize=30;

proc printto log   = 'Kougi19/les0603_log.txt'
             print = 'Kougi19/les0603_Results.txt' new;

/* ods listing gpath='Kougi19/SAS_ODS99'; */

data gakusei;
  infile 'Kougi19/all19bu.csv'
    firstobs=2 
         truncover lrecl=80
         dlm=','  dsd missover
    ;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui 
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

/* if sex^='M' & sex^='F' then delete; */
if shintyou=. | taijyuu=. | kyoui=. then delete;

proc print data=gakusei(obs=10);

run;                                          :
proc princomp data=gakusei out=outprin;       : 相関係数を使って
  var shintyou taijyuu kyoui;                 :
run;                                          :
proc print data=outprin(obs=15);
run;
proc plot data=outprin;
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin2/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin1/vref=0 href=0;
run;

出力結果 : les0603_Results.txt , les0603-output.pdf

各変量の平均、標準偏差、相関行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                               2019年11月12日 火曜日 11時29分24秒  30
PRINCOMP プロシジャ

オブザベーション数              122
変数の数                          3

                     単純統計量
              shintyou           taijyuu             kyoui
Mean       167.7467213       59.06065574       86.06065574
StD          8.6343843       10.68154783        8.18762983

                 相関行列
              shintyou      taijyuu       kyoui
shintyou        1.0000       0.7187      0.3019
taijyuu         0.7187       1.0000      0.4761
kyoui           0.3019       0.4761      1.0000

                               2019年11月12日 火曜日 11時29分24秒  31
PRINCOMP プロシジャ
                相関行列の固有値
         固有値           差          比率        累積
   1    2.01846742    1.29015748      0.6728      0.6728
   2    0.72830994    0.47508731      0.2428      0.9156
   3    0.25322264                    0.0844      1.0000

                固有ベクトル
                 Prin1         Prin2         Prin3
shintyou      0.596585      -.499433      0.628214
taijyuu       0.644536      -.168237      -.745834
kyoui         0.478183      0.849861      0.221535

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(累積の項 91.6%)。
- 各軸の意味付け
  - 第1軸 : 全体的な体格の因子。
  - 第2軸 : 太さの因子。
- 分散共分散行列を使ったときよりも第1軸の固有ベクトル同士が近い値になった。しかし、軸の解釈に違いはない。その理由はこの例では 3変量のスケールや分散にそれほどの違いがないためと想像される。
- 分散共分散行列と相関行列を使ったときの違いを見てみたければ、 shintyou のみを mm 単位で測定したと考えて、 100倍したものをデータとして両者の出力を比較してみよ。
  プログラム : les0604.sas 、出力結果 : les0604_Results.txt , les0604-output.pdf

主成分の数の決定基準 : 配布資料 80ページ
明確に決まっているわけではないが、以下のような基準が一般的に用いられている。また、結果の解釈の都合上、多少増減させることもある。
- 累積寄与率がある程度(例えば80%以上)以上大きくなること
- 相関行列を用いている場合、固有値が 1以上
- 固有値のギャップがある程度以上大きいこと
- ...

[例題1] 食品の嗜好性を探ってみよう : 90ページ～
100種類の食品の性、年齢毎の嗜好度調査の結果 : データ : food.dat

相関行列を用いて総合指標を求めてみよう : プログラム : les0605.sas
/* Lesson 06-5 */ /* File Name = les0605.sas 11/12/19 */ options nocenter linesize=78 pagesize=30; proc printto log = 'Kougi19/les0605_log.txt' print = 'Kougi19/les0605_Results.txt' new; /* ods listing gpath='Kougi19/SAS_ODS99'; */ data food; infile 'Kougi19/food.dat'; input X01-X10; label X01='M(-15)' X02='M(16-20)' X03='M(21-30)' X04='M(31-40)' X05='M(41-)' X06='F(-15)' X07='F(16-20)' X08='F(21-30)' X09='F(31-40)' X10='F(41-)'; proc print data=food(obs=10); run; proc princomp data=food out=outprin; var X01-X10; run; proc print data=outprin(obs=15); run;

出力結果 : les0605_Results.txt , les0605-output.pdf
2019年11月12日火曜日 13時18分19秒 1 Obs X01 X02 X03 X04 X05 X06 X07 X08 X09 X10 1 7.69 7.31 7.47 7.76 7.87 7.51 7.24 7.70 7.91 7.95 2 6.59 5.56 6.21 6.04 5.81 6.64 6.11 6.53 6.44 6.64 3 4.55 4.18 4.36 4.25 4.53 4.60 3.66 4.04 3.68 4.43 4 6.78 6.11 6.30 5.98 5.56 6.37 6.29 5.43 5.32 5.28 5 6.47 6.24 6.02 5.42 5.88 6.00 5.60 4.60 5.40 5.95 6 6.96 6.81 6.91 6.48 6.23 7.09 7.27 7.13 6.86 7.36 7 6.57 5.70 5.89 5.16 5.30 6.07 5.56 4.50 4.92 5.33 8 7.32 6.95 6.02 4.98 4.88 6.82 6.40 5.53 5.61 5.33 9 6.51 6.15 5.51 4.68 4.16 5.17 4.81 4.70 4.86 3.82 10 6.86 6.05 5.85 6.14 6.75 6.71 5.39 5.42 6.03 6.59 2019年11月12日火曜日 13時18分19秒 2 PRINCOMP プロシジャオブザベーション数 100 変数の数 10 単純統計量 X01 X02 X03 X04 X05 Mean 6.038100000 5.784800000 5.947100000 5.669500000 5.640600000 StD 1.239147389 1.034139939 0.825972699 0.915395124 0.884228614 単純統計量 X06 X07 X08 X09 X10 Mean 5.781300000 5.563900000 5.379400000 5.517400000 5.542100000 StD 1.294327683 1.182607883 1.121124814 1.016264322 1.130856737 2019年11月12日火曜日 13時18分20秒 3 PRINCOMP プロシジャ相関行列 X01 X02 X03 X04 X05 X01 M(-15) 1.0000 0.8708 0.5158 0.3701 0.1723 X02 M(16-20) 0.8708 1.0000 0.7588 0.6043 0.4021 X03 M(21-30) 0.5158 0.7588 1.0000 0.8524 0.7262 X04 M(31-40) 0.3701 0.6043 0.8524 1.0000 0.8742 X05 M(41-) 0.1723 0.4021 0.7262 0.8742 1.0000 X06 F(-15) 0.9384 0.8207 0.5164 0.3580 0.2077 X07 F(16-20) 0.8107 0.8381 0.6584 0.4875 0.3543 X08 F(21-30) 0.6161 0.7095 0.6990 0.6199 0.5235 X09 F(31-40) 0.5003 0.6470 0.7013 0.7207 0.7101 X10 F(41-) 0.3298 0.4569 0.5584 0.6321 0.7479 相関行列 X06 X07 X08 X09 X10 X01 0.9384 0.8107 0.6161 0.5003 0.3298 X02 0.8207 0.8381 0.7095 0.6470 0.4569 X03 0.5164 0.6584 0.6990 0.7013 0.5584 X04 0.3580 0.4875 0.6199 0.7207 0.6321 X05 0.2077 0.3543 0.5235 0.7101 0.7479 X06 1.0000 0.8888 0.7465 0.6215 0.4932 2019年11月12日火曜日 13時18分20秒 4 PRINCOMP プロシジャ相関行列 X06 X07 X08 X09 X10 X07 0.8888 1.0000 0.8949 0.7679 0.6415 X08 0.7465 0.8949 1.0000 0.8528 0.7741 X09 0.6215 0.7679 0.8528 1.0000 0.9112 X10 0.4932 0.6415 0.7741 0.9112 1.0000 相関行列の固有値固有値差比率累積 1 6.82795512 5.06608201 0.6828 0.6828 2 1.76187311 1.00742187 0.1762 0.8590 3 0.75445124 0.49207487 0.0754 0.9344 4 0.26237637 0.14082435 0.0262 0.9607 5 0.12155202 0.02358655 0.0122 0.9728 6 0.09796547 0.02586580 0.0098 0.9826 7 0.07209967 0.02801926 0.0072 0.9898 8 0.04408041 0.00832792 0.0044 0.9942 9 0.03575249 0.01385842 0.0036 0.9978 10 0.02189408 0.0022 1.0000 2019年11月12日火曜日 13時18分20秒 5 PRINCOMP プロシジャ固有ベクトル Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 X01 M(-15) 0.286033 -.446335 0.193512 0.428019 0.162365 X02 M(16-20) 0.331337 -.239842 0.336063 0.022488 -.559594 X03 M(21-30) 0.323345 0.166337 0.442291 -.436029 -.168594 X04 M(31-40) 0.299329 0.358627 0.375366 0.063449 0.367912 X05 M(41-) 0.260727 0.507209 0.127419 0.375425 0.146879 X06 F(-15) 0.308635 -.407882 -.083695 0.267375 0.286866 X07 F(16-20) 0.344271 -.252697 -.171400 -.295655 -.025050 X08 F(21-30) 0.347877 -.032314 -.289087 -.507508 0.452377 X09 F(31-40) 0.345636 0.164368 -.322236 0.040012 -.388944 X10 F(41-) 0.303334 0.267273 -.522559 0.251270 -.190507 固有ベクトル Prin6 Prin7 Prin8 Prin9 Prin10 X01 -.016413 -.062138 -.038493 -.141617 0.668052 X02 -.212367 0.479465 0.283325 -.013739 -.225064 X03 0.476929 -.416354 0.136150 0.085922 0.163960 X04 -.562491 -.066245 -.114301 0.403713 -.068344 X05 0.385123 0.325310 -.167534 -.437833 -.148648 X06 0.209878 -.335058 0.176137 0.090538 -.618107 2019年11月12日火曜日 13時18分20秒 6 PRINCOMP プロシジャ固有ベクトル Prin6 Prin7 Prin8 Prin9 Prin10 X07 0.137469 0.236104 -.762654 0.204382 -.046351 X08 -.128390 0.256135 0.382983 -.303270 0.106863 X09 -.387189 -.488821 -.161974 -.425188 -.030381 X10 0.181955 0.100632 0.270185 0.543107 0.229904 2019年11月12日火曜日 13時18分22秒 7 Obs X01 X02 X03 X04 X05 X06 X07 X08 X09 X10 Prin1 Prin2 1 7.69 7.31 7.47 7.76 7.87 7.51 7.24 7.70 7.91 7.95 5.88693 1.44204 2 6.59 5.56 6.21 6.04 5.81 6.64 6.11 6.53 6.44 6.64 1.65842 0.13686 3 4.55 4.18 4.36 4.25 4.53 4.60 3.66 4.04 3.68 4.43 -4.44537 -0.34692 4 6.78 6.11 6.30 5.98 5.56 6.37 6.29 5.43 5.32 5.28 0.72138 -0.63217 5 6.47 6.24 6.02 5.42 5.88 6.00 5.60 4.60 5.40 5.95 0.15339 -0.18363 6 6.96 6.81 6.91 6.48 6.23 7.09 7.27 7.13 6.86 7.36 3.65322 0.09908 7 6.57 5.70 5.89 5.16 5.30 6.07 5.56 4.50 4.92 5.33 -0.65902 -0.78995 8 7.32 6.95 6.02 4.98 4.88 6.82 6.40 5.53 5.61 5.33 0.76044 -1.96919 9 6.51 6.15 5.51 4.68 4.16 5.17 4.81 4.70 4.86 3.82 -1.96687 -1.71968 10 6.86 6.05 5.85 6.14 6.75 6.71 5.39 5.42 6.03 6.59 1.35649 0.51749 11 7.04 6.03 6.53 6.02 6.68 6.78 5.91 6.26 5.76 5.95 1.76317 0.15476 Obs Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 Prin7 Prin8 Prin9 Prin10 1 -0.07682 0.40809 0.25348 -0.08404 0.00629 0.07518 -0.29432 0.07804 2 -0.90098 -0.05516 0.42231 -0.06712 -0.42537 0.15924 0.03126 0.21633 3 -0.55169 0.23782 0.37097 0.08301 0.22924 0.36927 0.13546 -0.13545 4 0.55357 -0.08449 0.21583 0.10836 -0.04069 -0.30130 0.23414 0.03747 5 0.21693 0.67993 -0.55569 0.43975 0.12407 -0.03449 0.20098 0.03292 6 -0.63902 -0.35301 -0.06665 0.08296 0.01967 0.09429 0.27099 0.10991 7 0.26301 0.42015 -0.16052 0.48267 -0.13359 -0.13508 0.28383 0.14238 8 0.06701 -0.04720 -0.60733 0.05720 0.07830 0.10980 -0.04606 0.07099 9 0.66740 -0.33431 -0.54215 -0.50605 -0.09164 0.28167 -0.34880 0.33721 10 -0.17674 1.31452 0.21057 0.17171 0.08563 0.18324 -0.13665 -0.09062 11 0.23456 0.33063 0.60092 0.58481 0.05801 0.16376 -0.43135 0.07070 2019年11月12日火曜日 13時18分22秒 8 Obs X01 X02 X03 X04 X05 X06 X07 X08 X09 X10 Prin1 Prin2 12 6.59 6.30 6.29 5.94 6.10 5.93 5.52 5.35 5.45 5.85 0.72383 0.14551 13 5.93 4.76 5.09 5.51 5.79 5.49 4.97 4.69 5.30 5.61 -1.20892 0.34668 14 7.00 6.31 6.82 6.26 5.26 6.69 6.27 5.94 5.78 5.26 1.42272 -0.75706 15 6.63 5.47 5.54 4.88 4.70 5.89 4.64 4.43 4.00 3.98 -2.13183 -1.49511 Obs Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 Prin7 Prin8 Prin9 Prin10 12 0.49777 0.35538 -0.09548 0.21636 0.19362 0.18252 0.04441 0.14858 13 -0.53251 0.85212 0.41764 -0.06351 -0.06122 -0.26835 -0.02047 0.09838 14 0.71704 -0.53272 0.19744 -0.12540 -0.54510 0.00683 0.21138 0.12406 15 0.88751 0.23480 0.36191 0.24293 -0.09797 0.25997 0.00113 0.14547

解釈方法 : 95ページ～
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようではある(累積の項 85.9%)。
- しかし、固有値の変化量からすると、3軸でも良さそう : 3と4の間が空いてるから
- 主成分の数を3として意味付けを考えてみよう
- 各軸の意味付け
  - 第1軸 : 全体的な嗜好度合い。
  - 第2軸 : 年齢による嗜好度合い(若いとマイナス)。
  - 第3軸 : 性別による嗜好度合い(男性だとプラス)。

同じデータを両手法に適用して、その共通性と違いを体験してみよう
上記で示したデータも含めていくつかデータを置いておく。興味があればダウンロードして両手法に適用してはどうだろうか。
1. seiseki.txt
  - 中学2年生の成績データ。23名x5科目。国語、社会、数学、理科、英語。
  - 配布資料に掲載され、例題に使われていたデータ。
2. food.txt
  - 100 種類の食品の嗜好度データ。100食品x10グループ。
3. syumi.txt
  - 趣味に関するアンケート調査データ。30種類x6グループ。
【参考】読み物
- 西内啓著、「統計学が最強の学問である」、2013/1/24、￥ 1,728
- ビクター・マイヤー=ショーンベルガー他著、斎藤栄一郎翻訳、「ビッグデータの正体情報の産業革命が世界のすべてを変える」、2013/5/21、￥ 1,944
- 竹村彰通著、「データサイエンス入門」、 (岩波新書) 新書、2018/4/21、￥ 821
- 「ソフトウェアデザイン 2018年9月号」、【第1特集】R、Python活用していますか?、ITエンジニアのための統計学入門、￥ 1,318
- ダレル・ハフ著, 高木秀玄翻訳、「統計でウソをつく法―数式を使わない統計学入門」、(ブルーバックス)、1968/7/24、￥ 994
- デイヴィッド・サルツブルグ著, 竹内惠行＆熊谷悦生翻訳、「統計学を拓いた異才たち」、2010/4/1、￥ 998
次回は、... : 11月19日 16:20-17:50
- 因子分析
- 主成分分析との差異
- ...

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