平均値の比較

統計解析 01 クラス : 第08回(06/05/03)

今回は、単変量の集計としてよく利用される平均値の検定方法について紹介する。仮定条件や判断基準等、一見複雑に見える論理展開なので、混乱しないように理解してほしい。

平均値の比較 : 2つのグループの「平均値」に差があると言えるのか?
- Aクラスと Bクラスで試験の成績に差があると言えるのか?
- 薬を投与する/しないで成分(血糖値等)に差があると言えるのか?
- 身長(や体重や胸囲)は性別によって差があると言えるのか?
- 小遣い額は自宅生と下宿生で差があると言えるのか?
- ...
- 各分布が正規分布に従っているかどうかによって方法が異なる
  - パラメトリック検定(正規性を仮定) : t検定 (Student のt検定)、Welch の検定
  - ノンパラメトリック検定(正規性を仮定せず) : Wilcoxon検定
- パラメトリック検定では、
  両群の分散(標準偏差)が等しいと見なせるかによって方法が異なる : F検定
  - 等分散 : t検定 (Student のt検定) : Equal
  - 不等分散 : Welch の検定 : Unequal
- 判断基準(検定基準)
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(「有意」と言う)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
- 仮定(帰無仮説)に対して
  - 「両群の分散は等しい」 : 「有意」に等しい/等しくないを判定
  - 「両群の平均に差はない」 : 「有意」に差がある/ないを判定
- 論理展開の理解 : 出力結果の見方だけでなく、どうしてそのように考えるかを含めて理解してほしい。

正規性の確認
各分布を正規分布と見て良いかは、第5回の第2節で説明した「proc univariate」の「Normal Probability Plot」で判断する。「plot オプション」を忘れないように。

プログラム : les0801.sas
/* Lesson 08-1 */ /* File Name = les0801.sas 06/05/03 */ options linesize=72 pagesize=20; data gakusei; infile 'all03a.prn' firstobs=2; input sex $ height weight chest jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc sort data=gakusei; by sex; run; proc univariate data=gakusei plot; var height weight chest kodukai; by sex; run;

出力結果 : les0801.lst
SAS システム 26 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=HEIGHT Normal Probability Plot 172.5+ *+++*+ | **+**++**+ | ***********+ | ********+++ | ++******+ 147.5++*+++*++* * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 33 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=WEIGHT Normal Probability Plot 57.5+ +**+*+++*+ | ******+*+**+ 47.5+ ****+******++ | +**+*+**+++ 37.5++++*+++* +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 40 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=CHEST Normal Probability Plot 92.5+ ++++*+++++ | ********++**++++* 82.5+ * **+*+*+*++++ | ++*++*+*+++ 72.5++++++*+ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 47 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 325000+ * | | * 175000+ ** *+++++++ | +*****++++ | +********** 25000+ * * * ****************** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 54 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=HEIGHT Normal Probability Plot 187.5+ * * | ******+*+*++ | ********++ 172.5+ ************ | *********++ | **+***+**+ 157.5+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 61 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=WEIGHT Normal Probability Plot 105+ * | * | * * ++ 75+ ********+++++ | **************** | *****************+ 45+*+*+++++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 68 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=CHEST Normal Probability Plot 115+ * * + | ***+*+++++++ | ********+*+*++ 85+ *************++ | ++*+*+**++++ |++++ 55+ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 75 13:47 Monday, June 2, 2003 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 325000+ * | | * 175000+ ***** ***++++ | ******+++++ | +++*****++ 25000+* * ************************* +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

解釈
- 基準線にどの程度乗っているかで判断する
- 正規分布と言っても良さそう : 身長(男, 女)、体重(女)、胸囲(男, 女) ==> パラメトリック検定
- 正規分布から若干離れてる : 体重(男) ==> ノンパラメトリック検定
- 正規分布とは言えなさそう : 小遣い額(男, 女) ==> ノンパラメトリック検定

パラメトリック検定 : t 検定、Welch の検定

個々の分布が正規分布であることを仮定している。
両群の分散が等しい(等分散)かどうか依って、検定方法を使い分ける。

プログラム : les0802.sas
/* Lesson 08-2 */ /* File Name = les0802.sas 06/05/03 */ data gakusei; infile 'all03a.prn' firstobs=2; input sex $ height weight chest jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc ttest data=gakusei; : t検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var height weight chest kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les0802.lst
SAS システム 2 13:47 Monday, June 2, 2003 TTEST PROCEDURE Variable: HEIGHT SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 74 159.30945946 5.61246580 0.65243590 M 168 172.13095238 5.35687987 0.41329225 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -16.6012 133.9 0.0001 Equal -16.9056 240.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 1.10 DF = (73,167) Prob>F' = 0.6189 SAS システム 3 13:47 Monday, June 2, 2003 TTEST PROCEDURE Variable: WEIGHT SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 50 48.40000000 4.89897949 0.69282032 M 168 62.05833333 7.68132830 0.59262734 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -14.9811 127.0 0.0001 Equal -11.8648 216.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 2.46 DF = (167,49) Prob>F' = 0.0004 SAS システム 4 13:47 Monday, June 2, 2003 TTEST PROCEDURE Variable: CHEST SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 27 83.29629630 4.42731743 0.85203764 M 59 88.64406780 8.73116241 1.13670053 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -3.7645 83.0 0.0003 Equal -3.0040 84.0 0.0035 For H0: Variances are equal, F' = 3.89 DF = (58,26) Prob>F' = 0.0003 SAS システム 5 13:47 Monday, June 2, 2003 TTEST PROCEDURE Variable: KODUKAI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 69 53021.73913043 52627.60645932 6335.61929947 M 159 50540.88050314 52629.43563656 4173.78573870 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal 0.3270 129.3 0.7442 Equal 0.3270 226.0 0.7440 For H0: Variances are equal, F' = 1.00 DF = (158,68) Prob>F' = 1.0000

結果の見方 : 二段階、このデータでは?
- 等分散と言えるか? : Prob> F'
  - 身長(61.9%)と小遣い(100%)は等分散であると言える ===> t検定 : Equal の項
  - 体重(0.04%)と胸囲(0.03%)は等分散であると言えない ===> Welchの検定 : Unequal の項
- 平均に差があると言えるか? : Prob>|T|
  - 身長(0.0%, Equal の項)や体重(0.0%, Unequal の項)、胸囲(0.0%, Unequal の項)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(74.4%, Equal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。ただし、小遣い額の分布は正規分布とは言えないので、この結論は信憑性に欠ける。よって、次節で説明するノンパラメトリック検定の結果を待つ必要がある。
- 検定基準
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(有意)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
[演習1] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

ノンパラメトリック検定 : Wilcoxon 検定

各分布が正規分布に従っている必要はない
分布が不明なときはノンパラメトリック手法を使う
少数例、医学分野、血圧、...

プログラム : les0803.sas

/* Lesson 08-3 */ /* File Name = les0803.sas 06/05/03 */ data gakusei; infile 'all03a.prn' firstobs=2; input sex $ height weight chest jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc npar1way data=gakusei wilcoxon; : wilcoxon 検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var height weight chest kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les0803.lst
SAS システム 2 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable HEIGHT Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 74 3305.5000 8991.0 501.393383 44.668919 M 168 26097.5000 20412.0 501.393383 155.342262 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 3 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 3305.50 Z = -11.3384 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 128.58 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 4 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable WEIGHT Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 50 1606.0 5475.0 391.083363 32.120000 M 168 22265.0 18396.0 391.083363 132.529762 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 5 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 1606.00 Z = -9.89175 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 97.872 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 6 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable CHEST Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 27 762.0 1174.50000 106.925667 28.2222222 M 59 2979.0 2566.50000 106.925667 50.4915254 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 7 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 762.000 Z = -3.85314 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0002 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 14.883 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 8 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KODUKAI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 69 8314.0 7900.5000 455.045482 120.492754 M 159 17792.0 18205.5000 455.045482 111.899371 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 9 13:47 Monday, June 2, 2003 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 8314.00 Z = 0.907602 Prob > |Z| = 0.3641 T-Test Approx. Significance = 0.3651 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 0.82574 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.3635

結果の見方 : Prob>|Z|
- この手法では身長/体重/胸囲/小遣いの検定結果はパラメトリック手法と同じであった。
- 身長(0.0%)や体重(0.0%)、胸囲(0.0%)は性別によって平均に差があると言える。
- 小遣い(36.4%)は性別によって平均に差があるとは言えない。
[演習2] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

対応のある 2群の検定

薬の投与前後での測定、運動の前後での測定、処置の前後、...
proc univariate の中で表示されている
詳しくは配布資料を参照のこと

プログラム : les0804.sas

/* Lesson 08-4 */ /* File Name = les0804.sas 06/05/03 */ data pair; : input x y @@; : @@ は 1行に複数のデータがあることを示す dif=x-y; : 差(difference)を計算する cards; : データをプログラム内に記述する 3.51 3.39 3.07 3.39 3.29 3.20 3.03 3.11 : x1,y1, x2,y2, x3,y3, x4,y4, 3.38 3.17 3.30 3.09 3.15 3.17 3.25 3.09 : x5,y5, x6,y6, x7,y7, x8,y8 ; : : proc print data=pair; : run; : proc univariate data=pair plot; : var dif; : 差について run; :

出力結果 : les0804.lst
SAS システム 1 13:47 Monday, June 2, 2003 OBS X Y DIF 1 3.51 3.39 0.12 2 3.07 3.39 -0.32 3 3.29 3.20 0.09 4 3.03 3.11 -0.08 5 3.38 3.17 0.21 6 3.30 3.09 0.21 7 3.15 3.17 -0.02 8 3.25 3.09 0.16 SAS システム 2 13:47 Monday, June 2, 2003 Univariate Procedure Variable=DIF Moments N 8 Sum Wgts 8 Mean 0.04625 Sum 0.37 Std Dev 0.180629 Variance 0.032627 Skewness -1.31523 Kurtosis 1.511099 USS 0.2455 CSS 0.228388 CV 390.5489 Std Mean 0.063862 T:Mean=0 0.724218 Pr>|T| 0.4924 Num ^= 0 8 Num > 0 5 M(Sign) 1 Pr>=|M| 0.7266 Sgn Rank 7 Pr>=|S| 0.3594 SAS システム 5 13:47 Monday, June 2, 2003 Univariate Procedure Variable=DIF Stem Leaf # Boxplot 2 11 2 | 1 26 2 +-----+ 0 9 1 | + | -0 82 2 +-----+ -1 | -2 | -3 2 1 | ----+----+----+----+ Multiply Stem.Leaf by 10**-1 SAS システム 6 13:47 Monday, June 2, 2003 Univariate Procedure Variable=DIF Normal Probability Plot 0.25+ *++++* | *++*+++ | *++++ -0.05+ *+++*++ | +++++ | ++++++ -0.35+ +++++ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方 :
- T:Mean=0 : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための t 統計量
- Pr>=|T| : t 統計量の両側有意確率
  - t 統計量を適用する場合は、差の分布が正規分布に従っていることを仮定している
  - 差の分布が正規分布をしているかを確認するには : Normal Probability Plot
- M(Sign) : 母集団の中央値がゼロであるという仮説を検定するための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|M| : 母集団の中央値がゼロであるという仮説の下で、その符合統計量よりも大きい絶対値が得られる確率
- Sgn Rank : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|S| : 符合付き順位和検定統計量のための近似的有意確率
- この例では、ほぼ正規分布と言えそうだ。少数サンプルなので確度は低い。
- どの統計指標を用いても、差がゼロであることが結構な確率で起りそう : 49.2%, 72.7%, 35.9%
  つまり、差があるとは言えない。薬が効いているとは断定できない。

変数変換 : 新しい変量の算出
以下に示したような演算子や関数を使って、新しい変量を生成することができる。利用可能なものの一部を掲載しておく。
[例] 以下はあくまでも計算できることの例です。
data gakusei; infile 'all03a.prn' firstobs=2; input sex $ height weight chest jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa; dekasa=height+weight+chest; : 変量間の加減乗除 ch_2=chest**2; : 二乗 ch_sr=sqrt(chest); : ルート taiseki=ch_2*height :
[算術演算子]
+ : 足し算を算出します。
- : 引き算を算出します。
* : 掛け算を算出します。
/ : 割り算を算出します。
** : 巾乗を算出します。
sqrt : 平方根(ルート)を算出します。
[数値関数]
arcos : 逆余弦(アークコサイン)を算出します。
arsin : 逆正弦(アークサイン)を算出します。
atan : 逆正接(アークタンジェント)を算出します。
cos : 三角関数の余弦(コサイン)を求めます。
cosh : 双曲線の余弦（コサイン）を求めます。
sin : 正弦（サイン）を算出します。
sinh : 双曲線正弦を算出します。
tan : 正接（タンジェント）を算出します。
tanh : 双曲線正接の値を算出します。

ceil : 引数より大きいかまたは等しい整数のう最小の値を戻します。
floor : 引数値より小さいかまたは等しい整数値のうち最大のものを戻します。
fuzz : 引数と最も近い整数との差が10^-12以内のときに、その整数を戻します。
int : 小数部を切り捨てて、整数値を戻します。
round : 四捨五入します。
tranc : 指定された長さに切り捨てた数値を戻します。
次回は、... : 6月12日 14:45
- 二変量の関係、単回帰分析、
- ...

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