グループ分け(続き)、平均値の差の比較、検定

統計解析 02 クラス : 第10回 (06/12/08)

　今回は、先週の残りを説明した後、単変量の集計としてよく利用される平均値の差の検定方法について紹介する。仮定条件や判断基準等、一見複雑に見える論理展開なので、混乱しないように理解してほしい。

グループ分け : 先週(第9回)の第4節
平均値の差の比較 : 2つのグループの「平均値」に統計的に差があると言えるのか?
- Aクラスと Bクラスで、試験の成績に差があると言えるのか?
- 薬を投与する/しないで、成分(血糖値等)に差があると言えるのか?
- 性別によって、身長(や体重や胸囲や小遣い額)は差があると言えるのか?
- 自宅生と下宿生で、小遣い額は差があると言えるのか?
- ...
- 各分布が正規分布に従っているかどうかによって方法が異なる
  - パラメトリック検定(正規性を仮定) : t検定 (Student のt検定)、Welch の検定
  - ノンパラメトリック検定(正規性を仮定せず) : Wilcoxon検定
- パラメトリック検定では、
  両群の分散(標準偏差)が等しいと見なせるかによって方法が異なる : F検定
  - 等分散 : t検定 (Student のt検定) : Equal
  - 不等分散 : Welch の検定 : Unequal
- 判断基準(検定基準)
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(「有意」と言う)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
- 仮定(帰無仮説)に対して
  - 「両群の分散は等しい」と仮定した時 : 「有意」に等しい/等しくないを判定
  - 「両群の平均に差はない」と仮定した時 : 「有意」に差がある/ないを判定
- 論理展開の理解 : 出力結果の見方だけでなく、どうしてそのように考えるかを含めて理解してほしい。

正規性の確認
各分布を正規分布と見て良いかは、第5回の第1節で説明した「proc univariate」の「Normal Probability Plot」で判断する。「plot オプション」を忘れないように。

プログラム : les1001.sas
/* Lesson 10-1 */ /* File Name = les1001.sas 06/12/08 */ data gakusei; infile 'all08ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; : 性別不明は除外する proc print data=gakusei(obs=5); run; proc sort data=gakusei; by sex; run; proc univariate data=gakusei plot; var shintyou taijyuu kyoui kodukai; by sex; run;

出力結果 : les1001.lst
SAS システム 8 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=SHINTYOU Normal Probability Plot 172.5+ +*++* | *****+*+*** | **********++ | **********+ | +********+ 147.5+*++*+*+** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 15 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=TAIJYUU Normal Probability Plot 62.5+ * +* | *****+*++++ | ************ | ************+ | *+****+**++ 37.5+*+++*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 22 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KYOUI Normal Probability Plot 92.5+ +++*+++ | ***********+**+++* 82.5+ ********+***+*++++ | ++*+*+**+++++ 72.5++++*+ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 29 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 325000+ * | | * 175000+ *** ++ | *****+++++++ | +********** 25000+* * ********************** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 36 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=SHINTYOU Normal Probability Plot 187.5+ **+* | ********+++ | ********++ 172.5+ ************ | *********+ | *********+ 157.5+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 43 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=TAIJYUU Normal Probability Plot 105+ * | * * | ***+++ 75+ **********+++ | *************** | *****************+ 45+*++*++++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 50 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KYOUI Normal Probability Plot 115+ * +*+ | +***+*++++ | ***********+** | *************+++ | *+***+++++ |+++++++ | * 45+ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 57 12:08 Wednesday, June 11, 2008 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 375000+ * | * | | * | *****+**+++ | ******+++++ | ++*******+ 25000+* *************************** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

解釈
- 基準線にどの程度乗っているかで判断する
- 正規分布と言っても良さそう : 身長(男, 女)、体重(女)
- 正規分布から若干離れてそう : 体重(男)、胸囲(男、女)
- 正規分布とは全く言えなさそう : 小遣い額(男, 女)
- 比較する両群ともが正規分布の場合は、パラメトリック検定が使える。<=== 身長
- 比較する両群の少なくとも片方が正規分布でない場合は、ノンパラメトリック検定を使う。<=== 体重、胸囲、小遣い額

パラメトリック検定 : t 検定、Welch の検定

個々の分布が正規分布であることを仮定している。
両群の分散が等しい(等分散)かどうか依って、検定方法を使い分ける。

プログラム : les1002.sas
/* Lesson 10-2 */ /* File Name = les1002.sas 06/12/08 */ data gakusei; infile 'all08ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc ttest data=gakusei; : t検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var shintyou taijyuu kyoui kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les1002.lst
SAS システム 2 12:08 Wednesday, June 11, 2008 TTEST PROCEDURE Variable: SHINTYOU SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 127 158.98188976 5.25173316 0.46601596 M 252 172.22380952 5.44545468 0.34303140 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -22.8840 261.1 0.0001 Equal -22.6116 377.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 1.08 DF = (251,126) Prob>F' = 0.6530 SAS システム 3 12:08 Wednesday, June 11, 2008 TTEST PROCEDURE Variable: TAIJYUU SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 88 48.84090909 4.74820320 0.50616016 M 252 62.21349206 7.90706329 0.49809817 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -18.8309 254.4 0.0001 Equal -14.9434 338.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 2.77 DF = (251,87) Prob>F' = 0.0000 SAS システム 4 12:08 Wednesday, June 11, 2008 TTEST PROCEDURE Variable: KYOUI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 45 82.97777778 3.85232450 0.57427063 M 72 87.98611111 9.66406594 1.13892109 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -3.9265 101.1 0.0002 Equal -3.3116 115.0 0.0012 For H0: Variances are equal, F' = 6.29 DF = (71,44) Prob>F' = 0.0000 SAS システム 5 12:08 Wednesday, June 11, 2008 TTEST PROCEDURE Variable: KODUKAI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 123 48089.43089431 44134.99376077 3979.51837003 M 241 47692.94605809 51860.03912810 3340.59878498 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal 0.0763 283.1 0.9392 Equal 0.0724 362.0 0.9423 For H0: Variances are equal, F' = 1.38 DF = (240,122) Prob>F' = 0.0463

結果の見方 : 二段階、このデータでは?
- 等分散と言えるか? : Prob> F'
  - 身長(65.3%)は等分散であると言える ===> t検定 : Equal の項
  - 体重(0.00%)と胸囲(0.00%)は等分散であると言えない ===> Welchの検定 : Unequal の項
  - 小遣いは等分散であると... : 4.6%
    1% で検定すると、等分散であると言える。1% 有意。===> t検定 : Equal の項
    5% で検定すると、等分散であると言えない。5% 有意ではない。 ===> Welchの検定 : Unequal の項
- 平均に差があると言えるか? : Prob>|T|
  - 身長(0.00%, Equal の項)や体重(0.01%, Unequal の項)、胸囲(0.02%, Unequal の項)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣いは、...
    - 小遣い(94.2%, Equal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。
    - 小遣い(93.9%, Unequal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。
  - ただし、体重、胸囲、小遣い額の分布のどちらか一方、または両方が正規分布とは言えないので、身長以外の結論は信憑性に欠ける。よって、体重、胸囲、小遣い額については次節で説明するノンパラメトリック検定の結果を待つ必要がある。
- 検定基準
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 有意(分散が等しいとは言えない、平均に差がある)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
[演習1] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

ノンパラメトリック検定 : Wilcoxon 検定

各分布が正規分布に従っている必要はない
分布が不明なときはノンパラメトリック手法を使う
少数例、医学分野、血圧、...

プログラム : les1003.sas

/* Lesson 10-3 */ /* File Name = les1003.sas 06/12/08 */ data gakusei; infile 'all08ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc npar1way data=gakusei wilcoxon; : wilcoxon 検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var shintyou taijyuu kyoui kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les1003.lst
SAS システム 2 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable SHINTYOU Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 127 9309.5000 24130.0 1006.03685 73.303150 M 252 62700.5000 47880.0 1006.03685 248.811508 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 3 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 9309.50 Z = -14.7311 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 217.02 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 4 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable TAIJYUU Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 88 5008.5000 15004.0 793.040519 56.914773 M 252 52961.5000 42966.0 793.040519 210.164683 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 5 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 5008.50 Z = -12.6034 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 158.86 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 6 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KYOUI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 45 1803.0 2655.0 177.518371 40.0666667 M 72 5100.0 4248.0 177.518371 70.8333333 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 7 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 1803.00 Z = -4.79669 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 23.035 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 8 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KODUKAI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 123 23691.5000 22447.5000 944.942897 192.613821 M 241 42738.5000 43982.5000 944.942897 177.338174 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 9 12:08 Wednesday, June 11, 2008 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 23691.5 Z = 1.31595 Prob > |Z| = 0.1882 T-Test Approx. Significance = 0.1890 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 1.7331 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.1880

結果の見方 : Prob>|Z|
- この手法では身長/体重/胸囲/小遣いの検定結果はパラメトリック手法と同じであった。
- 身長(0.01%)や体重(0.01%)、胸囲(0.01%)は性別によって平均に差があると言える。
- 小遣い(18.8%)は性別によって平均に差があるとは言えない。
[演習2] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

対応のある 2群の検定
- 2群として、同一個体に対して2回測定したものを比較したい場合もある。
- 薬の投与前後での測定、運動の前後での測定、処置の前後、...
- この場合は、「対応のある 2群」とか、「独立でない2標本」と呼ばれる。
- 詳細はテキスト P92 : (4) 2つの標本が独立でない場合
次回は、... : 06月19日 14:45
- 今回やり残したところ
- 外れ値処理とif文
- 頻度集計
- ...

講義のホームページへ戻ります