二変量の関係、単回帰分析、外れ値の処理

統計解析 06 クラス : 第10回 (12/06/06)

　これまでは主に単変量(一変量)を取り扱う統計手法を紹介してきた。今後は、二変量以上、つまり、多変量解析の手法を紹介していく。最初に、相関係数や散布図、次に、回帰分析を紹介する。

複数変量の関係
　手始めに二変量の関係を説明する方法について紹介する。
- 身長と体重の関係 : どのように表現すれば良いのだろうか?
- 数値 : 相関係数、回帰分析 <=== 単変量の場合は「基礎統計量」であった。
- 図 : 散布図 <=== 単変量の場合は「ヒストグラム」であった。
  [例] 「「インターネット人口」をどのように読んだらいいか(Impressの記事, 2000/07/28) 」内の図
  - 平成17年版情報通信白書 :2005年6月発表の統計, 国内のインターネット人口
    - インターネット利用者の増大 : ネット利用者は7948万人
    - 概要 (PDF File)

散布図と相関係数

どの様に分布しているのだろう?
分布の仕方を数値的に表現すると?

プログラム : les1001.sas

/* Lesson 10-1 */ /* File Name = les1001.sas 12/06/06 */ data gakusei; infile 'all06be.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc plot data=gakusei; : 散布図を描く plot shintyou*taijyuu; : 散布図の変量を指定(縦軸、横軸の順) plot taijyuu*shintyou; : run: : proc corr data=gakusei; : 相関係数(相関行列)を計算 run: :

出力結果 : les1001.lst
SAS システム 2 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : SHINTYOU*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) SHINTYOU | 200 + | | A B A 180 + A BFCFDEBGA B B A A A | CAHELIVQLHDHEDB BC | AGAGJJFEBCDEAA AA A A 160 + ADDGDIFDBACB | A ECBEDDA A A | A BAA 140 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 3 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) 100 + B | A A TAIJYUU | A A A A B B A A | A B CBDDE ECGBD DCH B BA | A AA AE B CBEBG KCSJMBMGFFE CBDCB A 50 + AAB CACEC EDIBG EBEGG DAACC BC | A A B D BA BA | | | 0 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 4 13:01 Thursday, November 30, 2006 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 352 167.9 8.1272 59116.6 145.0 186.0 TAIJYUU 319 58.7329 9.2582 18735.8 35.0000 100.0 KYOUI 112 86.5446 7.5168 9693.0 56.0000 112.0 KODUKAI 339 47941.0 47506.2 16252000 0 300000 TSUUWA 140 6501.4 4359.2 910202 0 30000.0 SAS システム 5 13:01 Thursday, November 30, 2006 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.70420 0.39716 0.04799 -0.01338 0.0 0.0001 0.0001 0.3841 0.8767 352 319 112 331 137 TAIJYUU 0.70420 1.00000 0.66735 -0.01784 -0.03891 0.0001 0.0 0.0001 0.7579 0.6641 319 319 112 301 127 KYOUI 0.39716 0.66735 1.00000 -0.08998 -0.17920 0.0001 0.0001 0.0 0.3544 0.2957 112 112 112 108 36 KODUKAI 0.04799 -0.01784 -0.08998 1.00000 0.20547 0.3841 0.7579 0.3544 0.0 0.0164 331 301 108 339 136 TSUUWA -0.01338 -0.03891 -0.17920 0.20547 1.00000 0.8767 0.6641 0.2957 0.0164 0.0 137 127 36 136 140

結果の見方
- 縦軸と横軸の該当部分が交差したところにマークを付置
- データが1つなら「Aマーク」、2つなら「Bマーク」、3つなら「Cマーク」、...
- データ全体がどこに分布しているかが判る
- 縦軸と横軸を交換するだけで印象が異なる
- 各変量の平均値との比較
- 外れ値(Outlier)を見つける <===> 異常値
- サンプルサイズ、平均、標準偏差、最大値、最小値 <=== proc means だけでなく proc corr でも得られる。
- 相関係数(R) / 仮説「相関係数(R)=0」の起る確率 / サンプルサイズ
- -1 ≦ 相関係数(R)≦ 1
- R＝0 : 無相関。R＞0 : 正の相関、右肩上がり。R＜0 : 負の相関、右肩下がり。
- 相関係数(R)が 0 かの検定 : 値が小さいと有意(相関係数が 0 とは言えない、何らかの関係があると言える)
  この例 : 身長と体重、身長と胸囲、体重と胸囲の間には有意な関係があると言える(5%, 1%)。
  また、小遣い額と通話料には 5% で有意な相関が見られる(0.205)。
[注意] 相関行列は細切れに表示されるので、不要部分を削除することによって整形しレポート等に使うこと。

[おまけ:再掲(部分)] 単変量、二変量を視覚的に捉えると? by Mathematica
1. $1 dim. Normal Distribution$ [式(a)] 1次元正規分布 N(0,1)
2. $2 dim. Normal Distribution$ [式(b)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.0)
3. $2 dim. Normal Distribution$ [式(c)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)

単回帰分析 : 予測等に使う、連続変量の関係
　過去のデータからその構造を把握し、新規に測定されたデータに対する予測を行ないたいと言うときに、回帰分析は有用である。構造のシンプルな単回帰分析でこの手法の原理を理解し、複数の説明変量を用いた重回帰分析に拡張する。残差の取り方や、その二乗和を最少にするという考えは同じである。

体重を身長で説明(回帰)したい : [体重]=a[身長]+b : 回帰係数
説明される変量と説明する変量 : 説明する変数が一つ＝「単」 <===>「重」
説明される変量 : 目的変数、従属変数、dependent variable
説明する変量 : 説明変数、独立変数、independent variable
どうやって直線を決める? : 予測誤差の2乗和を最小にする

プログラム : les1002.sas
/* Lesson 10-2 */ /* File Name = les1002.sas 12/06/06 */ data gakusei; infile 'all06be.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc reg data=gakusei; : 回帰分析 model taijyuu=shintyou; : 変量を指定 output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : 結果項目の保存 run; : : proc print data=outreg1(obs=15); : 表示してみる run; : : proc plot data=outreg1; : 散布図を描く plot taijyuu*shintyou/vaxis=20 to 100 by 20; : 体重と身長(縦軸指定) plot pred1*taijyuu; : 予測値と観測値 plot resid1*pred1 /vref=0; : 残差と予測値(残差解析)(水平軸指定) plot resid1*shintyou/vref=0; : 残差と説明変数(残差解析) plot resid1*taijyuu /vref=0; : 残差と目的変数(残差解析) run; : : proc univariate data=outreg1 plot normal; : 残差を正規プロットして確かめる var resid1; : run; :
[補足] proc plot の下に以下の行を追加した方がより正確ではある。欠損値を含むデータを解析対象から除外する事を指示する命令文である。「欠損値です」の表示が無くなるだけで、得られる図は同じ(欠損値は描画できないから)。試しに追加する/しないの両方で実行してみよ。
where shintyou^=. and taijyuu^=.;

出力結果 : les1002.lst
SAS システム 2 13:01 Thursday, November 30, 2006 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 13516.68437 13516.68437 311.837 0.0001 Error 317 13740.46002 43.34530 C Total 318 27257.14439 Root MSE 6.58371 R-square 0.4959 Dep Mean 58.73292 Adj R-sq 0.4943 C.V. 11.20958 SAS システム 3 13:01 Thursday, November 30, 2006 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -78.160166 7.76082431 -10.071 0.0001 SHINTYOU 1 0.811504 0.04595434 17.659 0.0001 SAS システム 4 13:01 Thursday, November 30, 2006 S H T K C I A J O A T R N I K I D R S P E T J Y T U R U R S O S Y Y O A K Y U E I B E O U U K A E W D D S X U U I U I R A 1 1 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . 39.5079 -1.5079 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 40.8875 0.1125 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . 41.9424 0.0576 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 41.9424 1.0576 5 F 148.9 . . J 60000 . 42.6728 . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . 42.7539 2.2461 7 F 150.0 46.0 86 40000 . 43.5654 2.4346 8 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 44.3769 0.6231 9 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . 44.3769 5.6231 10 F 151.7 41.5 80 J 35000 . 44.9450 -3.4450 11 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 45.1884 -10.1884 12 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 45.1884 -2.1884 13 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 45.1884 -1.1884 14 F 153.0 41.0 . J 125000 No . 45.9999 -4.9999 15 F 153.0 42.0 . G 0 Vodafone 1000 45.9999 -3.9999 SAS システム 6 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) TAIJYUU | 100 + B | A A 80 + A A A A B B A A | A B CBDDE ECGBD DCH B BA 60 + A AA AE B CBEBG KCSJMBMGFFE CBDCB A | AAB CACEC EDIBG EBEGG DAACC BC 40 + A A B D BA BA | 20 + | --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 7 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : PRED1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) 80 + | PRED1 | A A B A | A BDACFBB H B A A A A | ABBCCCNHEECIBB A BC 60 + CFCLHGIMEIBBADBBA A A | AH EHDI CCAAE A | BCDDEHACAABA | BABCDACA A A | A CACB B A 40 + A BA ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 8 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A d | A B B A BAA A u | A A A AB BBBB BCBEDEEAB BA A A a 0 +-------------A-ABAAACCBDECDCJBEEBFCIJCOJJJHIDECM-A-AA------------ l | AA BAA C BA CGDDACEFDBDFBCBCBAA | A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 30 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 9 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A d | A B B A B B A u | A A A AB B BBB B CBEDE DBB BA A A a 0 +--------A-A-BAAAC-DBCEC-DCJBE-EBFCI-JCOHKAJHIDE-CCJ-A--AA-------- l | A A BA AAB B A CFE DACEEADBDDD CABBB AA | A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 10 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 44 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A d | A BABD A u | A ABACBBLBECGBC A A a 0 +--------------A-DBEFFEMLERGJUTJLEJ-G--------------------- l | A CABCJ DMEIDEHCBB | A A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 11 13:01 Thursday, November 30, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 319 Sum Wgts 319 Mean 0 Sum 0 Std Dev 6.573355 Variance 43.20899 Skewness 1.406071 Kurtosis 4.082218 USS 13740.46 CSS 13740.46 CV . Std Mean 0.368037 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 319 Num > 0 138 M(Sign) -21.5 Pr>=|M| 0.0186 Sgn Rank -3002 Pr>=|S| 0.0685 W:Normal 0.920047 Pr SAS システム 15 13:01 Thursday, November 30, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 35+* 1 * .* 4 0 .**** 16 0 .****************************** 117 +--+--+ .******************************************** 174 *-----* -15+** 7 | ----+----+----+----+----+----+----+----+---- * may represent up to 4 counts SAS システム 16 13:01 Thursday, November 30, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 35+ * | **** | *******++++ | ++************** | *********************** -15+***+**++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方
- 対象になったのは 319名。
- 説明変量が予測に役立っているか?
  - 回帰に役立っているか : Prob>F : 小さいと有意(役立っている)
    [この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
- 決定係数 : R-Square ( 相関係数 : R )
  - 目的変量が説明変量でどの程度説明しているかの割合。
  - 1 に近いほど当てはまりが良いと言える。
    [この例] 50% 程(半分, 49.6)を説明できている。
- 回帰係数 : Parameter Estimate
  [この例] a=0.812, b=-78.2
  説明変数が予測に役立っているか?
  回帰係数の検定(係数=0 か?) : Prob>|T| : 小さいと有意(ゼロではないと言える)
  [この例] 両者とも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
  残差の性質 ===> 正規性 : 残差プロット、残差解析
  
  残差(予測誤差)は正規分布をしていると仮定してモデルが構築されている。
  この仮定が覆ると、回帰分析として成立していないことになる。
  残差が正規分布をしているか確認する必要がある。
  均等に散らばっているか?
  傾向はないか?
  ...
  [この例] 残差には概ね傾向は見られない。ただし体重の大きい 3～4例程度は要確認。場合によっては外れ値として除外も。 ===> 次節
[注意] 誤差は「説明変量」の軸と垂直に取ることに注意せよ。誤差は測定時に混入していると考えてモデルが構築されているから。

「体重の大きい者を除外」して実行するには?
　前節の正規確率プロットを見ると、体重の大きい 4例程度が正規性を乱していることが判った。そこで体重の大きい者を除外して再度回帰分析にかけてみよう。その際、除外すると言うよりは、「解析対象者を条件付けして絞る」と考えた方が解りやすいかもしれない。ここでは「85Kg 未満の者を対象として」解析を行なう例を示す。

[注意] 「正規性を乱している者は何でも除外してかまわない」というわけではない。今回の場合は、元データに戻ったところ、体育会系のずんぐりした者であったため、普通の大学生とは異なる性質を有していると判断し除外対象とした。除外する場合にはその根拠を明確にしないと、「恣意的な解析」と言われかねないことに注意せよ。

プログラム : les1003.sas
/* Lesson 10-3 */ /* File Name = les1003.sas 12/06/06 */ data gakusei; infile 'all06be.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; if shintyou=. | taijyuu=. then delete; : 欠損値データを除外 proc print data=gakusei(obs=10); run; proc corr data=gakusei; where taijyuu<85; : 対象データを絞る run; proc reg data=gakusei; model taijyuu=shintyou; where taijyuu<85; : 対象データを絞る output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; run; proc print data=outreg1(obs=15); run; proc plot data=outreg1; where taijyuu<85; : 対象データを絞る plot taijyuu*shintyou; plot taijyuu*pred1; plot resid1*(pred1 shintyou taijyuu)/vref=0; : まとめて指定することも可 run; proc univariate data=outreg1 plot normal; var resid1; run;

出力結果 : les1003.lst
SAS システム 2 13:01 Thursday, November 30, 2006 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 315 168.6 8.0149 53105.0 145.0 186.0 TAIJYUU 315 58.2930 8.4300 18362.3 35.0000 82.0000 KYOUI 109 86.1193 7.0497 9387.0 56.0000 110.0 KODUKAI 297 48415.8 48958.6 14379500 0 300000 TSUUWA 127 6629.9 4376.7 842002 0 30000.0 SAS システム 3 13:01 Thursday, November 30, 2006 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.72993 0.36359 0.05739 -0.05044 0.0 0.0001 0.0001 0.3243 0.5733 315 315 109 297 127 TAIJYUU 0.72993 1.00000 0.60582 0.00400 -0.03891 0.0001 0.0 0.0001 0.9453 0.6641 315 315 109 297 127 KYOUI 0.36359 0.60582 1.00000 -0.08629 -0.17920 0.0001 0.0001 0.0 0.3814 0.2957 109 109 109 105 36 KODUKAI 0.05739 0.00400 -0.08629 1.00000 0.24072 0.3243 0.9453 0.3814 0.0 0.0073 297 297 105 297 123 TSUUWA -0.05044 -0.03891 -0.17920 0.24072 1.00000 0.5733 0.6641 0.2957 0.0073 0.0 127 127 36 123 127 SAS システム 6 13:01 Thursday, November 30, 2006 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 11889.02775 11889.02775 356.950 0.0001 Error 313 10425.17688 33.30727 C Total 314 22314.20463 Root MSE 5.77125 R-square 0.5328 Dep Mean 58.29302 Adj R-sq 0.5313 C.V. 9.90041 SAS システム 7 13:01 Thursday, November 30, 2006 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -71.136573 6.85833410 -10.372 0.0001 SHINTYOU 1 0.767730 0.04063545 18.893 0.0001 SAS システム 10 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A 75 + A B BAB B C B BA A | BB B CBICDAEDGDD CCKAB BA | A AA AE B C DBG JCMJLALFEDE CAABA A 50 + AA CACEB DDGBF EBEGG DAACC BC | A A BA AC BA BB A B A | A 25 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 11 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : TAIJYUU*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A 75 + A B BABB CAABA A | BBBCBHDDFDGDDCNAB BA | A AA AE BC DIHEMJMKGEFCCACAA 50 + AA CDEBDCHBFEBENCBACC BC | A ABA BBBABBA B A | A 25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 12 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A d | A AAAAB AC BA A u | A B B AB BBBBABEBHDCDBD B A a 0 +--A-ABAAABABCEACCGCEE-FBIFDJGKKHFDECCJ-A-AA-------------- l | AB ABBB E BABCFECBDEDDCBDDCABBBAA | A AA C A -20 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 13 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A d | A AAAAB A C B A A u | A B B AB B BBBAB EBICC DBD AA A a 0 +--------A-A-BAAAB-BACEA-CCHBE-E-FBI-HBJGKAJHFDE-CCJ-A--AA-------- l | A BA BB BAD B ABCFE DADEDADBBDD CABBB AA | A AA C A -20 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 14 13:01 Thursday, November 30, 2006 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A B d | A A AB C BCA A u | B A A B AD EFDHBAGAEB AA a 0 +----------A--AABABDADEFDFEEMEDIBTFLEEGECD-G---------------------- l | ADAACDCI ABFFEEFDDAHC BAA | A C B A -20 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 30 40 50 60 70 80 90 TAIJYUU SAS システム 15 13:01 Thursday, November 30, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 315 Sum Wgts 315 Mean 0 Sum 0 Std Dev 5.762048 Variance 33.2012 Skewness 0.731318 Kurtosis 0.827352 USS 10425.18 CSS 10425.18 CV . Std Mean 0.324655 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 315 Num > 0 139 M(Sign) -18.5 Pr>=|M| 0.0424 Sgn Rank -2031 Pr>=|S| 0.2098 W:Normal 0.961662 Pr SAS システム 18 13:01 Thursday, November 30, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 22.5+* 1 0 .** 4 0 .***** 13 0 .************* 38 | .**************************** 83 +--+--+ .****************************************** 125 *-----* .*************** 44 | -12.5+*** 7 | ----+----+----+----+----+----+----+----+-- * may represent up to 3 counts SAS システム 19 13:01 Thursday, November 30, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 22.5+ * | **** | ******++++ | ********+ | ++******** | ************ | ***********+ -12.5+****+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方 : 前節と本節の出力結果を比較して違いを明確にせよ
- 対象になったのは 315名。
- 当てはまりは良くなったか? : 異常値と外れ値の意味するもの
- 残差の正規性はどのように変化したか?
- 回帰係数はどのように変化したか?
- 説明力(決定係数)はどのように変化したか?
- 単に体重の重い者だけが正規性を乱している訳ではなさそうだ。

次回は、... : 12月13日 13:10
- 重回帰分析
- 外れ値の処理
- ...
[おまけ] 出力サイズの指定とコマンドプロンプトからの実行
1. 出力画面のサイズを指定したい場合
  以下の例では横幅(カラム数)が 72桁で、縦幅が 20行を指定している。コメントの直後辺りに入れる。
  options linesize=72 pagesize=20;
2. sas のプログラムが完成している場合 : エディタで編集できる人用
  既存のプログラムを実行するだけであれば、 UNIX のコマンドラインで以下のコマンドを入力すれば実行できる。以下の例では les9988.sas と言うファイルに SAS のプログラムが保存されていた場合の実行方法である。出力(OUTPUT)は les9988.lst に、ログ(LOG)は les9988.log に得られる。
  sas les9999.sas

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