平均値の比較

統計解析 06 クラス : 第09回 (11/29/06)

　今回は、単変量の集計としてよく利用される平均値の検定方法について紹介する。仮定条件や判断基準等、一見複雑に見える論理展開なので、混乱しないように理解してほしい。

平均値の比較 : 2つのグループの「平均値」に統計的に差があると言えるのか?
- Aクラスと Bクラスで試験の成績に差があると言えるのか?
- 薬を投与する/しないで成分(血糖値等)に差があると言えるのか?
- 身長(や体重や胸囲や小遣い額)は性別によって差があると言えるのか?
- 小遣い額は自宅生と下宿生で差があると言えるのか?
- ...
- 各分布が正規分布に従っているかどうかによって方法が異なる
  - パラメトリック検定(正規性を仮定) : t検定 (Student のt検定)、Welch の検定
  - ノンパラメトリック検定(正規性を仮定せず) : Wilcoxon検定
- パラメトリック検定では、
  両群の分散(標準偏差)が等しいと見なせるかによって方法が異なる : F検定
  - 等分散 : t検定 (Student のt検定) : Equal
  - 不等分散 : Welch の検定 : Unequal
- 判断基準(検定基準)
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(「有意」と言う)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
- 仮定(帰無仮説)に対して
  - 「両群の分散は等しい」と仮定した時 : 「有意」に等しい/等しくないを判定
  - 「両群の平均に差はない」と仮定した時 : 「有意」に差がある/ないを判定
- 論理展開の理解 : 出力結果の見方だけでなく、どうしてそのように考えるかを含めて理解してほしい。

正規性の確認
各分布を正規分布と見て良いかは、第5回の第1節で説明した「proc univariate」の「Normal Probability Plot」で判断する。「plot オプション」を忘れないように。

プログラム : les0901.sas
/* Lesson 09-1 */ /* File Name = les0901.sas 11/29/06 */ data gakusei; infile 'all06be.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; : 性別不明は除外する proc print data=gakusei(obs=5); run; proc sort data=gakusei; by sex; run; proc univariate data=gakusei plot; var shintyou taijyuu kyoui kodukai; by sex; run;

出力結果 : les0901.lst
SAS システム 8 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=SHINTYOU Normal Probability Plot 172.5+ +*++* | *******+*+** | *********++ | *********+ | ********+ 147.5+*++*+*++* +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 15 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=TAIJYUU Normal Probability Plot 62.5+ *+ | ******++*++ | ************+ | ***********+ | ****+****++ 37.5++*++*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 22 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KYOUI Normal Probability Plot 92.5+ ++++*+++ | **********+*+*+++* 82.5+ *******+*+**+++++ | ++*++**+*++++ 72.5++++*+ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 29 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 325000+ * | | * 175000+ ** * +++ | *****++++++ | +********** 25000+* * * ******************** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 36 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=SHINTYOU Normal Probability Plot 187.5+ +* | *******+**+ | *********+ 172.5+ ************ | *********+ | *********+ 157.5+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 43 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=TAIJYUU Normal Probability Plot 105+ * | * * | **+++ 75+ *******+**++ | *************** | *****************+ 45+*++*++++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 50 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KYOUI Normal Probability Plot 115+ * * | ***+*+++++++ | ************+*+ 85+ *************++ | ++*+*+**++++ |+++ 55+ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 57 17:16 Tuesday, November 28, 2006 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 325000+ * | | * 175000+ **** **+*++ | ******+++++++ | ++*******+ 25000+* * ************************* +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

解釈
- 基準線にどの程度乗っているかで判断する
- 正規分布と言っても良さそう : 身長(男, 女)、体重(女)
- 正規分布から若干離れてる : 体重(男)、胸囲(男、女)
- 正規分布とは言えなさそう : 小遣い額(男, 女)
- 比較する両群ともが正規分布の場合は、パラメトリック検定が使える。<=== 身長
- 比較する両群の少なくとも片方が正規分布でない場合は、ノンパラメトリック検定を使う。<=== 体重、胸囲、小遣い額

パラメトリック検定 : t 検定、Welch の検定

個々の分布が正規分布であることを仮定している。
両群の分散が等しい(等分散)かどうか依って、検定方法を使い分ける。

プログラム : les0902.sas
/* Lesson 09-2 */ /* File Name = les0902.sas 11/29/06 */ data gakusei; infile 'all06be.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc ttest data=gakusei; : t検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var shintyou taijyuu kyoui kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les0902.lst
SAS システム 2 17:16 Tuesday, November 28, 2006 TTEST PROCEDURE Variable: SHINTYOU SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 114 159.12456140 5.38450023 0.50430465 M 238 172.16974790 5.35281076 0.34697119 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -21.3109 221.6 0.0001 Equal -21.3554 350.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 1.01 DF = (113,237) Prob>F' = 0.9266 SAS システム 3 17:16 Tuesday, November 28, 2006 TTEST PROCEDURE Variable: TAIJYUU SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 81 48.71604938 4.77774677 0.53086075 M 238 62.14201681 7.83199643 0.50767292 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -18.2781 228.7 0.0001 Equal -14.5268 317.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 2.69 DF = (237,80) Prob>F' = 0.0000 SAS システム 4 17:16 Tuesday, November 28, 2006 TTEST PROCEDURE Variable: KYOUI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 42 82.95238095 3.93825751 0.60768633 M 70 88.70000000 8.31333833 0.99363398 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -4.9347 105.4 0.0001 Equal -4.2011 110.0 0.0001 For H0: Variances are equal, F' = 4.46 DF = (69,41) Prob>F' = 0.0000 SAS システム 5 17:16 Tuesday, November 28, 2006 TTEST PROCEDURE Variable: KODUKAI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 111 49081.08108108 44989.87464573 4270.24992479 M 228 47385.96491228 48771.06616283 3229.94276106 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal 0.3166 234.7 0.7518 Equal 0.3079 337.0 0.7584 For H0: Variances are equal, F' = 1.18 DF = (227,110) Prob>F' = 0.3410

結果の見方 : 二段階、このデータでは?
- 等分散と言えるか? : Prob> F'
  - 身長(92.7%)と小遣い(34.1%)は等分散であると言える ===> t検定 : Equal の項
  - 体重(0.00%)と胸囲(0.00%)は等分散であると言えない ===> Welchの検定 : Unequal の項
- 平均に差があると言えるか? : Prob>|T|
  - 身長(0.00%, Equal の項)や体重(0.01%, Unequal の項)、胸囲(0.01%, Unequal の項)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(75.8%, Equal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。
  - ただし、体重、胸囲、小遣い額の分布のどちらか一方、または両方が正規分布とは言えないので、身長以外の結論は信憑性に欠ける。よって、体重、胸囲、小遣い額については次節で説明するノンパラメトリック検定の結果を待つ必要がある。
- 検定基準
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 有意(分散が等しいとは言えない、平均に差がある)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
[演習1] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

ノンパラメトリック検定 : Wilcoxon 検定

各分布が正規分布に従っている必要はない
分布が不明なときはノンパラメトリック手法を使う
少数例、医学分野、血圧、...

プログラム : les0903.sas

/* Lesson 09-3 */ /* File Name = les0903.sas 11/29/06 */ data gakusei; infile 'all06be.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc npar1way data=gakusei wilcoxon; : wilcoxon 検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var shintyou taijyuu kyoui kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les0903.lst
SAS システム 2 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable SHINTYOU Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 114 7643.0 20121.0 892.777760 67.043860 M 238 54485.0 42007.0 892.777760 228.928571 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 3 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 7643.00 Z = -13.9760 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 195.35 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 4 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable TAIJYUU Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 81 4247.0 12960.0 716.287812 52.432099 M 238 46793.0 38080.0 716.287812 196.609244 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 5 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 4247.00 Z = -12.1634 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 147.97 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 6 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KYOUI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 42 1544.0 2373.0 165.545627 36.7619048 M 70 4784.0 3955.0 165.545627 68.3428571 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 7 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 1544.00 Z = -5.00466 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 25.077 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 8 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KODUKAI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 111 19982.5000 18870.0 842.637279 180.022523 M 228 37647.5000 38760.0 842.637279 165.120614 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 9 17:16 Tuesday, November 28, 2006 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 19982.5 Z = 1.31967 Prob > |Z| = 0.1869 T-Test Approx. Significance = 0.1878 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 1.7431 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.1867

結果の見方 : Prob>|Z|
- この手法では身長/体重/胸囲/小遣いの検定結果はパラメトリック手法と同じであった。
- 身長(0.01%)や体重(0.01%)、胸囲(0.01%)は性別によって平均に差があると言える。
- 小遣い(18.7%)は性別によって平均に差があるとは言えない。
[演習2] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

対応のある 2群の検定

薬の投与前後での測定、運動の前後での測定、処置の前後、...
proc univariate の中で表示されている : 第5回の第1節
詳しくは配布資料を参照のこと

プログラム : les0904.sas

/* Lesson 09-4 */ /* File Name = les0904.sas 11/29/06 */ data pair; : input x y @@; : @@ は 1行に複数のデータがあることを示す dif=x-y; : 差(difference)を計算する cards; : データをプログラム内に記述する 3.51 3.39 3.07 3.39 3.29 3.20 3.03 3.11 : x1,y1, x2,y2, x3,y3, x4,y4, 3.38 3.17 3.30 3.09 3.15 3.17 3.25 3.09 : x5,y5, x6,y6, x7,y7, x8,y8 ; : : proc print data=pair; : run; : proc univariate data=pair plot; : var dif; : 差について run; :

出力結果 : les0904.lst
SAS システム 1 17:16 Tuesday, November 28, 2006 OBS X Y DIF 1 3.51 3.39 0.12 2 3.07 3.39 -0.32 3 3.29 3.20 0.09 4 3.03 3.11 -0.08 5 3.38 3.17 0.21 6 3.30 3.09 0.21 7 3.15 3.17 -0.02 8 3.25 3.09 0.16 SAS システム 2 17:16 Tuesday, November 28, 2006 Univariate Procedure Variable=DIF Moments N 8 Sum Wgts 8 Mean 0.04625 Sum 0.37 Std Dev 0.180629 Variance 0.032627 Skewness -1.31523 Kurtosis 1.511099 USS 0.2455 CSS 0.228388 CV 390.5489 Std Mean 0.063862 T:Mean=0 0.724218 Pr>|T| 0.4924 Num ^= 0 8 Num > 0 5 M(Sign) 1 Pr>=|M| 0.7266 Sgn Rank 7 Pr>=|S| 0.3594 SAS システム 5 17:16 Tuesday, November 28, 2006 Univariate Procedure Variable=DIF Stem Leaf # Boxplot 2 11 2 | 1 26 2 +-----+ 0 9 1 | + | -0 82 2 +-----+ -1 | -2 | -3 2 1 | ----+----+----+----+ Multiply Stem.Leaf by 10**-1 SAS システム 6 17:16 Tuesday, November 28, 2006 Univariate Procedure Variable=DIF Normal Probability Plot 0.25+ *++++* | *++*+++ | *++++ -0.05+ *+++*++ | +++++ | ++++++ -0.35+ +++++ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方 :
- T:Mean=0 : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための t 統計量
- Pr>=|T| : t 統計量の両側有意確率
  - t 統計量を適用する場合は、差の分布が正規分布に従っていることを仮定している
  - 差の分布が正規分布をしているかを確認するには : Normal Probability Plot
- M(Sign) : 母集団の中央値がゼロであるという仮説を検定するための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|M| : 母集団の中央値がゼロであるという仮説の下で、その符合統計量よりも大きい絶対値が得られる確率
- Sgn Rank : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|S| : 符合付き順位和検定統計量のための近似的有意確率
- この例では、ほぼ正規分布と言えそうだ。少数サンプルなので確度は低い。
- どの統計指標を用いても、差がゼロであることが結構な確率で起りそう : 49.2%(Pr>=|T| の項), 72.7%(Pr>=|M| の項), 35.9%(Pr>=|S| の項)。
  つまり、差があるとは言えない。薬が効いているとは断定できない。

次回は、... : 12月06日 13:10 ???
- 二変量の関係
- 多変量解析 : 単回帰分析、重回帰分析、...
- ...
[おまけ] 単変量、二変量を視覚的に捉えると? by Mathematica
1. $1 dim. Normal Distribution$ [式(a)] 1次元正規分布 N(0,1)
2. $2 dim. Normal Distribution$ [式(b)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.0)
3. $2 dim. Normal Distribution$ [式(c)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)
4. $2 dim. Normal Distribution$ [式(d)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)、y=1 で切り出し
5. $2 dim. Normal Distribution$ [式(e)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)、x+y=2 で切り出し

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