二変量の関係、単回帰分析、外れ値の処理

統計解析 02 クラス : 第10回 (06/22/06)

　これまでは主に単変量(一変量)を取り扱う統計手法を紹介してきた。今後は、二変量以上、つまり、多変量解析の手法を紹介していく。最初に、相関係数や散布図、次に、回帰分析を紹介する。

前回の続き: 対応のある 2群の検定前回の配付資料の第5節
複数変量の関係
　手始めに二変量の関係を説明する方法について紹介する。
- 身長と体重の関係 : どのように表現すれば良いのだろうか?
- 数値 : 相関係数、回帰分析 <=== 単変量の場合は「基礎統計量」であった。
- 図 : 散布図 <=== 単変量の場合は「ヒストグラム」であった。
  [例] 「「インターネット人口」をどのように読んだらいいか(Impressの記事, 2000/07/28) 」内の図
  - 平成17年版情報通信白書 :2005年6月発表の統計, 国内のインターネット人口
    - インターネット利用者の増大 : ネット利用者は7948万人
    - 概要 (PDF File)

散布図と相関係数

どの様に分布しているのだろう?
分布の仕方を数値的に表現すると?

プログラム : les1001.sas

/* Lesson 10-1 */ /* File Name = les1001.sas 06/22/06 */ data gakusei; infile 'all06ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc plot data=gakusei; : 散布図を描く plot shintyou*taijyuu; : 散布図の変量を指定(縦軸、横軸の順) plot taijyuu*shintyou; : run: : proc corr data=gakusei; : 相関係数(相関行列)を計算 run: :

出力結果 : les1001.lst
SAS システム 2 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : SHINTYOU*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) SHINTYOU | 200 + | | A B A 180 + A BFCFDDBGA B B A A A | CAGELITQKHCGECB BC | AFAGIIFEBCDEAA AA A A 160 + ADDGDIFDBABB | A ECAEDDA A A | A BAA 140 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 3 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) 100 + B | A A TAIJYUU | A A A A B B A A | A B CBDDC ECGAD CCH B BA | A AA E B CBDBG KCRILBMGFFE CBDCB A 50 + AAA CACEC EDIBG EBDGF DAABC BC | A A B D BA BA | | | 0 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 4 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 338 167.9 8.1732 56766.6 145.0 186.0 TAIJYUU 306 58.7118 9.3201 17965.8 35.0000 100.0 KYOUI 111 86.4685 7.5074 9598.0 56.0000 112.0 KODUKAI 325 47667.7 48012.3 15492000 0 300000 TSUUWA 128 6568.0 4510.3 840702 0 30000.0 SAS システム 5 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.70416 0.38960 0.04626 -0.00902 0.0 0.0001 0.0001 0.4117 0.9205 338 306 111 317 125 TAIJYUU 0.70416 1.00000 0.66557 -0.02434 -0.03684 0.0001 0.0 0.0001 0.6808 0.6946 306 306 111 288 116 KYOUI 0.38960 0.66557 1.00000 -0.08600 -0.13416 0.0001 0.0001 0.0 0.3785 0.4423 111 111 111 107 35 KODUKAI 0.04626 -0.02434 -0.08600 1.00000 0.21340 0.4117 0.6808 0.3785 0.0 0.0173 317 288 107 325 124 TSUUWA -0.00902 -0.03684 -0.13416 0.21340 1.00000 0.9205 0.6946 0.4423 0.0173 0.0 125 116 35 124 128

結果の見方
- 縦軸と横軸の該当部分が交差したところにマークを付置
- データが1つなら「Aマーク」、2つなら「Bマーク」、3つなら「Cマーク」、...
- データ全体がどこに分布しているかが判る
- 縦軸と横軸を交換するだけで印象が異なる
- 各変量の平均値との比較
- 外れ値(Outlier)を見つける <===> 異常値
- サンプルサイズ、平均、標準偏差、最大値、最小値 <=== proc means だけでなく proc corr でも得られる。
- 相関係数(R) / 仮説「相関係数(R)=0」の起る確率 / サンプルサイズ
- -1 ≦ 相関係数(R)≦ 1
- R＝0 : 無相関。R＞0 : 正の相関、右肩上がり。R＜0 : 負の相関、右肩下がり。
- 相関係数(R)が 0 かの検定 : 値が小さいと有意(相関係数が 0 とは言えない、何らかの関係があると言える)
  この例 : 身長と体重、身長と胸囲、体重と胸囲の間には有意な関係があると言える(5%, 1%)。
[注意] 相関行列は細切れに表示されるので、不要部分を削除することによって整形しレポート等に使うこと。

単回帰分析 : 予測等に使う、連続変量の関係
　過去のデータからその構造を把握し、新規に測定されたデータに対する予測を行ないたいと言うときに、回帰分析は有用である。構造のシンプルな単回帰分析でこの手法の原理を理解し、複数の説明変量を用いた重回帰分析に拡張する。残差の取り方や、その二乗和を最少にするという考えは同じである。

体重を身長で説明(回帰)したい : [体重]=a[身長]+b : 回帰係数
説明される変量と説明する変量 : 説明する変数が一つ＝「単」 <===>「重」
説明される変量 : 目的変数、従属変数、dependent variable
説明する変量 : 説明変数、独立変数、independent variable
どうやって直線を決める? : 予測誤差の2乗和を最小にする

プログラム : les1002.sas
/* Lesson 10-2 */ /* File Name = les1002.sas 06/22/06 */ data gakusei; infile 'all06ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc reg data=gakusei; : 回帰分析 model taijyuu=shintyou; : 変量を指定 output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : 結果項目の保存 run; : : proc print data=outreg1(obs=15); : 表示してみる run; : : proc plot data=outreg1; : 散布図を描く plot taijyuu*shintyou/vaxis=20 to 100 by 20; : 体重と身長(縦軸指定) plot pred1*taijyuu; : 予測値と観測値 plot resid1*pred1 /vref=0; : 残差と予測値(残差解析)(水平軸指定) plot resid1*shintyou/vref=0; : 残差と説明変数(残差解析) plot resid1*taijyuu /vref=0; : 残差と目的変数(残差解析) run; : : proc univariate data=outreg1 plot normal; : 残差を正規プロットして確かめる var resid1; : run; :
[補足] proc plot の下に以下の行を追加した方がより正確ではある。欠損値を含むデータを解析対象から除外する事を指示する命令文である。「欠損値です」の表示が無くなるだけで、得られる図は同じ(欠損値は描画できないから)。試しに追加する/しないの両方で実行してみよ。
where shintyou^=. and taijyuu^=.;

出力結果 : les1002.lst
SAS システム 2 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 13136.48932 13136.48932 298.982 0.0001 Error 304 13356.98832 43.93746 C Total 305 26493.47765 Root MSE 6.62853 R-square 0.4958 Dep Mean 58.71176 Adj R-sq 0.4942 C.V. 11.28996 SAS システム 3 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -78.346595 7.93558665 -9.873 0.0001 SHINTYOU 1 0.812421 0.04698498 17.291 0.0001 SAS システム 4 20:07 Wednesday, June 21, 2006 S H T K C I A J O A T R N I K I D R S P E T J Y T U R U R S O S Y Y O A K Y U E I B E O U U K A E W D D S X U U I U I R A 1 1 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . 39.4545 -1.4545 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 40.8356 0.1644 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . 41.8917 0.1083 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 41.8917 1.1083 5 F 148.9 . . J 60000 . 42.6229 . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . 42.7041 2.2959 7 F 150.0 46.0 86 40000 . 43.5166 2.4834 8 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . 44.3290 5.6710 9 F 151.7 41.5 80 J 35000 . 44.8977 -3.3977 10 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 45.1414 -10.1414 11 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 45.1414 -2.1414 12 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 45.1414 -1.1414 13 F 153.0 41.0 . J 125000 No . 45.9538 -4.9538 14 F 153.0 42.0 . G 0 Vodafone 1000 45.9538 -3.9538 15 F 153.0 46.5 87 G 10000 . 45.9538 0.5462 SAS システム 6 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) TAIJYUU | 100 + B | A A 80 + A A A A B B A A | A B CBDDC ECGAD CCH B BA 60 + A AA E B CBDBG KCRILBMGFFE CBDCB A | AAA CACEC EDIBG EBDGF DAABC BC 40 + A A B D BA BA | 20 + | --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 7 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : PRED1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) 80 + | PRED1 | A A B A | A BDACFAB H B A A A A | ABBCCCNHEEBIBB A BC 60 + CECLHGGMDIBAADABA A A | AG EHCH CCAAE A | BCDDEHACAAAA | BABCDACA A A | A CABB B A 40 + A BA ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 8 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A d | A B B A BAA A u | A A A B BBBB BCBEDCEAD BA A A a 0 +-------------A-ABAA-CCBDECDCJBEEBECHKCNIIJHGCEEJ-A-AA------------ l | AA BAAAB BA BGDCACDFDBDFBDACBAA | A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 30 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 9 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A d | A B B A B B A u | A A A B B BBB B CBEDC DBD BA A A a 0 +--------A-A-BAA-C-DBCEC-DCJBE-EBECH-KCNGJAJHGCE-BCJ-A--AA-------- l | A A BA AAB B A BFE CACDEADBDDD CABBB AA | A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 10 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 43 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A d | A BABD A u | A ABABBBLBFCGAC A A a 0 +--------------A-DBDFFEMLEQGJSTILCH-G--------------------- l | A CABCI DLDIDEHCBB | A A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 11 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 306 Sum Wgts 306 Mean 0 Sum 0 Std Dev 6.617659 Variance 43.7934 Skewness 1.435334 Kurtosis 4.167262 USS 13356.99 CSS 13356.99 CV . Std Mean 0.378306 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 306 Num > 0 132 M(Sign) -21 Pr>=|M| 0.0189 Sgn Rank -2843.5 Pr>=|S| 0.0663 W:Normal 0.917161 Pr<W 0.0001 SAS システム 15 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 35+* 1 * .* 4 0 .**** 15 0 .**************************** 112 +--+--+ .****************************************** 167 *-----* -15+** 7 | ----+----+----+----+----+----+----+----+-- * may represent up to 4 counts SAS システム 16 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 35+ * | **** | *******++++ | ++************** | *********************** -15+***+**++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方
- 対象になったのは 306名。
- 説明変量が予測に役立っているか?
  - 回帰に役立っているか : Prob>F : 小さいと有意(役立っている)
    [この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
- 決定係数 : R-Square ( 相関係数 : R )
  - 目的変量が説明変量でどの程度説明しているかの割合。
  - 1 に近いほど当てはまりが良いと言える。
    [この例] 50% 程(半分, 49.6)を説明できている。
- 回帰係数 : Parameter Estimate
  [この例] a=0.812, b=-78.3
  説明変数が予測に役立っているか?
  回帰係数の検定(係数=0 か?) : Prob>|T| : 小さいと有意(ゼロではないと言える)
  [この例] 両者とも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
  残差の性質 ===> 正規性 : 残差プロット、残差解析
  
  残差(予測誤差)は正規分布をしていると仮定してモデルが構築されている。
  この仮定が覆ると、回帰分析として成立していないことになる。
  残差が正規分布をしているか確認する必要がある。
  均等に散らばっているか?
  傾向はないか?
  ...
  [この例] 残差には概ね傾向は見られない。ただし体重の大きい 3～4例程度は要確認。場合によっては外れ値として除外も。 ===> 次節
[注意] 誤差は「説明変量」の軸と垂直に取ることに注意せよ。誤差は測定時に混入していると考えてモデルが構築されているから。

「体重の大きい者を除外」して実行するには?
　前節の正規確率プロットを見ると、体重の大きい 4例程度が正規性を乱していることが判った。そこで体重の大きい者を除外して再度回帰分析にかけてみよう。その際、除外すると言うよりは、「解析対象者を条件付けして絞る」と考えた方が解りやすいかもしれない。ここでは「85Kg 未満の者を対象として」解析を行なう例を示す。

[注意] 「正規性を乱している者は何でも除外してかまわない」というわけではない。今回の場合は、元データに戻ったところ、体育会系のずんぐりした者であったため、普通の大学生とは異なる性質を有していると判断し除外対象とした。除外する場合にはその根拠を明確にしないと、「恣意的な解析」と言われかねないことに注意せよ。

プログラム : les1003.sas
/* Lesson 10-3 */ /* File Name = les1003.sas 06/22/06 */ data gakusei; infile 'all06ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; if shintyou=. | taijyuu=. then delete; : 欠損値データを除外 proc print data=gakusei(obs=10); run; proc corr data=gakusei; where taijyuu<85; : 対象データを絞る run; proc reg data=gakusei; model taijyuu=shintyou; where taijyuu<85; : 対象データを絞る output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; run; proc print data=outreg1(obs=15); run; proc plot data=outreg1; where taijyuu<85; : 対象データを絞る plot taijyuu*shintyou; plot taijyuu*pred1; plot resid1*(pred1 shintyou taijyuu)/vref=0; : まとめて指定することも可 run; proc univariate data=outreg1 plot normal; var resid1; run;

出力結果 : les1003.lst
SAS システム 2 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 302 168.6 8.0591 50916.0 145.0 186.0 TAIJYUU 302 58.2526 8.4598 17592.3 35.0000 82.0000 KYOUI 108 86.0370 7.0299 9292.0 56.0000 110.0 KODUKAI 284 48308.1 49603.6 13719500 0 300000 TSUUWA 116 6728.5 4525.0 780502 0 30000.0 SAS システム 3 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.73092 0.35407 0.05257 -0.05074 0.0 0.0001 0.0002 0.3774 0.5886 302 302 108 284 116 TAIJYUU 0.73092 1.00000 0.60190 -0.00278 -0.03684 0.0001 0.0 0.0001 0.9628 0.6946 302 302 108 284 116 KYOUI 0.35407 0.60190 1.00000 -0.08164 -0.13416 0.0002 0.0001 0.0 0.4100 0.4423 108 108 108 104 35 KODUKAI 0.05257 -0.00278 -0.08164 1.00000 0.25480 0.3774 0.9628 0.4100 0.0 0.0067 284 284 104 284 112 TSUUWA -0.05074 -0.03684 -0.13416 0.25480 1.00000 0.5886 0.6946 0.4423 0.0067 0.0 116 116 35 112 116 SAS システム 6 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 11508.78237 11508.78237 344.121 0.0001 Error 300 10033.19051 33.44397 C Total 301 21541.97288 Root MSE 5.78308 R-square 0.5342 Dep Mean 58.25265 Adj R-sq 0.5327 C.V. 9.92758 SAS システム 7 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -71.105835 6.98124839 -10.185 0.0001 SHINTYOU 1 0.767269 0.04136107 18.551 0.0001 SAS システム 10 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A 75 + A B BAA B C B BA A | BB B CBHCCAEDGCD BCKAB BA | A AA E B C CBG JCMIKALFEDE CAABA A 50 + AA CACEB DDGBF EBDGF DAABC BC | A A BA C BA BB A B A | A 25 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 11 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : TAIJYUU*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A 75 + A B BAAB CAABA A | BBBCBGDDEDGCDEKAB BA | A AA E BC CIHEMJKKGEFCD CAA 50 + AA DCEBDCHBFEBDMCBABC BC | A ABA ABBABBA B A | A 25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 12 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A d | A AAAAA AC BA A u | A B B E BBBBABEBGDBEBD B A a 0 +--A-ABAA-BABCEACCDCEE-EBHFDKFJJHFCEBCJ-A-AA-------------- l | AB ABBB E BABBFECBCDDDCBDDCABBBAA | A AA C A -20 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 13 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A d | A AAAAA A C B A A u | A B B E B BBBAB EBHCB EBD AA A a 0 +--------A-A-BAA-B-BACEA-CCEBE-E-EBH-HBKFJAIHFCE-BCJ-A--AA-------- l | A BA BB BAD B ABBFE DACDDADBBDD CABBB AA | A AA C A -20 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 14 20:07 Wednesday, June 21, 2006 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A B d | A A AA C BCA A u | B A D B AC EEDIBAFAEB AA a 0 +----------A--AABAADADEFDFEDIFDIBRFLEEFCCD-G---------------------- l | ADAACDCH ABFEEEEDDAHC BAA | A C B A -20 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 30 40 50 60 70 80 90 TAIJYUU SAS システム 15 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 302 Sum Wgts 302 Mean 0 Sum 0 Std Dev 5.773462 Variance 33.33286 Skewness 0.754069 Kurtosis 0.895746 USS 10033.19 CSS 10033.19 CV . Std Mean 0.332225 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 302 Num > 0 132 M(Sign) -19 Pr>=|M| 0.0331 Sgn Rank -1892.5 Pr>=|S| 0.2133 W:Normal 0.96039 Pr<W 0.0001 SAS システム 18 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 22.5+* 1 0 .** 4 0 .**** 12 0 .************ 36 | .*************************** 79 +--+--+ .***************************************** 121 *-----* .************** 42 | -12.5+*** 7 | ----+----+----+----+----+----+----+----+- * may represent up to 3 counts SAS システム 19 20:07 Wednesday, June 21, 2006 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 22.5+ * | **** | ******++++ | ********+ | ++******** | ************* | ***********+ -12.5+****+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方 : 前節と本節の出力結果を比較して違いを明確にせよ
- 対象になったのは 302名。
- 当てはまりは良くなったか? : 異常値と外れ値の意味するもの
- 残差の正規性はどのように変化したか?
- 回帰係数はどのように変化したか?
- 説明力(決定係数)はどのように変化したか?
- 単に体重の重い者だけが正規性を乱している訳ではなさそうだ。

次回は、... : 06月29日 14:45
- 重回帰分析
- 外れ値の処理
- ...
[おまけ] 出力サイズの指定とコマンドプロンプトからの実行
1. 出力画面のサイズを指定したい場合
  以下の例では横幅(カラム数)が 72桁で、縦幅が 20行を指定している。コメントの直後辺りに入れる。
  options linesize=72 pagesize=20;
2. sas のプログラムが完成している場合 : エディタで編集できる人用
  既存のプログラムを実行するだけであれば、 UNIX のコマンドラインで以下のコマンドを入力すれば実行できる。以下の例では les9988.sas と言うファイルに SAS のプログラムが保存されていた場合の実行方法である。出力(OUTPUT)は les9988.lst に、ログ(LOG)は les9988.log に得られる。
  sas les9999.sas

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