平均値の比較

統計処理 01 クラス : 第11回(06/27/02)

今回は、単変量の集計としてよく利用される平均値の検定方法について紹介する。仮定条件や判断基準等、一見複雑に見える論理展開なので、混乱しないように理解してほしい。

平均値の比較 : 2つのグループの「平均値」に差があると言えるのか?
- Aクラスと Bクラスで試験の成績に差があると言えるのか?
- 薬を投与する/しないで成分(血糖値等)に差があると言えるのか?
- 身長(や体重や胸囲)は性別によって差があると言えるのか?
- 小遣い額は自宅生と下宿生で差があると言えるのか?
- ...
- 各分布が正規分布に従っているかどうかによって方法が異なる
  - パラメトリック検定 : t検定 (Student のt検定)、Welch の検定
  - ノンパラメトリック検定 : Wilcoxon検定
- パラメトリック検定では、
  両群の分散(標準偏差)が等しいと見なせるかによって方法が異なる : F検定
  - 等分散 : t検定 (Student のt検定) : Equal
  - 不等分散 : Welch の検定 : Unequal
- 判断基準(検定基準)
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(「有意」と言う)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
- 仮定(帰無仮説)に対して
  - 「分散は等しい」 : 「有意」に等しい/等しくないを判定
  - 「差はない」 : 「有意」に差がある/ないを判定
- 論理展開の理解 : 出力結果の見方だけでなく、どうしてそのように考えるかを含めて理解してほしい。
- 正規分布と見て良いかは、第7回の第2節で説明した「proc univariate」の「Normal Probability Plot」で判断する。
  プログラム : les1101a.sas、出力結果 : les1101a.lst
  - 正規分布と言っても良さそう : 身長(男, 女)、体重(女)、胸囲(男, 女)
  - 正規分布から若干離れてる : 体重(男)
  - 正規分布とは言えなさそう : 小遣い額(男, 女)

t 検定、Welch の検定 : パラメトリック検定

個々の分布が正規分布であることを仮定している。
両群の分散が等しい(等分散)かどうか依って、検定方法を使い分ける。

プログラム : les1101.sas

 /* Lesson 11-1 */
 /*    File Name = les1101.sas   06/27/02   */

data gakusei;
  infile 'all02.prn' firstobs=2;
  input sex $ height weight chest 
        jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc ttest data=gakusei;               : t検定
  class sex;                           : 分類したい特性変数の指定
  var height weight chest kodukai;     : 比較したい変量名
run;                                   :

出力結果 : les1101.lst


                              SAS システム                             2
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                            TTEST PROCEDURE
Variable: HEIGHT                                               

SEX       N                Mean             Std Dev           Std Error
-----------------------------------------------------------------------
F        72        159.27638889          5.68674003          0.67018874
M       161        172.09751553          5.38639432          0.42450734

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal   -16.1613    130.1      0.0001
Equal     -16.5010    231.0      0.0000

For H0: Variances are equal, F' = 1.11   DF = (71,160)   Prob>F' = 0.5711

                              SAS システム                             3
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                            TTEST PROCEDURE
Variable: WEIGHT                                               

SEX       N                Mean             Std Dev           Std Error
-----------------------------------------------------------------------
F        49         48.36734694          4.94424698          0.70632100
M       161         62.10062112          7.75751649          0.61137795

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal   -14.7011    125.7      0.0001
Equal     -11.6803    208.0      0.0000

For H0: Variances are equal, F' = 2.46   DF = (160,48)   Prob>F' = 0.0005

                              SAS システム                             4
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                            TTEST PROCEDURE
Variable: CHEST                                                

SEX       N                Mean             Std Dev           Std Error
-----------------------------------------------------------------------
F        26         83.30769231          4.51459173          0.88538428
M        55         88.65454545          8.42662927          1.13624646

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal    -3.7119     77.6      0.0004
Equal      -3.0297     79.0      0.0033

For H0: Variances are equal, F' = 3.48   DF = (54,25)   Prob>F' = 0.0011

                              SAS システム                             5
                                             15:02 Monday, June 17, 2002
                            TTEST PROCEDURE
Variable: KODUKAI                                              

SEX       N                Mean             Std Dev           Std Error
-----------------------------------------------------------------------
F        67      51619.40298507      52047.69735193       6358.63826551
M       152      51223.68421053      53478.74460087       4337.69897472

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal     0.0514    129.5      0.9591
Equal       0.0509    217.0      0.9595

For H0: Variances are equal, F' = 1.06   DF = (151,66)   Prob>F' = 0.8172

結果の見方 : 二段階、このデータでは?
- 等分散と言えるか? : Prob> F'
  - 身長(57.1%)と小遣い(81.7%)は等分散であると言える ===> t検定 : Equal の項
  - 体重(0.1%)と胸囲(0.1%)は等分散であると言えない ===> Welchの検定 : Unequal の項
- 平均に差があると言えるか? : Prob>|T|
  - 身長(0.0%, Equal の項)や体重(0.0%, Unequal の項)、胸囲(0.0%, Unequal の項)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(96.0%, Equal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。ただし、小遣い額の分布は正規分布とは言えないので、この結論は信憑性に欠ける。よって、次節で説明するノンパラメトリック検定の結果を待つ必要がある。
- 検定基準
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(有意)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
[演習1] 皆さんだけのデータ(38名)では、どう言う結論が得られるか? ===> 各自で結論づけてみよ
プログラム : les1101b.sas、出力結果 : les1101b.lst
[演習2] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

Wilcoxon 検定 : ノンパラメトリック検定 :

各分布が正規分布に従っている必要はない
分布が不明なときはノンパラメトリック手法を使う
少数例、医学分野、血圧、...

プログラム : les1102.sas

 /* Lesson 11-2 */
 /*    File Name = les1102.sas   06/27/02   */

data gakusei;
  infile 'all02.prn' firstobs=2;
  input sex $ height weight chest 
        jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc npar1way data=gakusei wilcoxon;   : wilcoxon 検定
  class sex;                           : 分類したい特性変数の指定
  var height weight chest kodukai;     : 比較したい変量名
run;                                   :

出力結果 : les1102.lst


                              SAS システム                             2
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

            Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable HEIGHT
                       Classified by Variable SEX


                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEX          N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           72    3141.5000       8424.0   475.103687    43.631944
   M          161   24119.5000      18837.0   475.103687   149.810559
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             3
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  3141.50   Z = -11.1176   Prob > |Z| = 0.0001

         T-Test Approx. Significance = 0.0001

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ =  123.62   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.0001

                              SAS システム                             4
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

            Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable WEIGHT
                       Classified by Variable SEX

                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEX          N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           49    1536.5000    5169.5000   372.029119    31.357143
   M          161   20618.5000   16985.5000   372.029119   128.065217
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             5
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  1536.50   Z = -9.76402   Prob > |Z| = 0.0001

         T-Test Approx. Significance = 0.0001

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ =  95.362   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.0001

                              SAS システム                             6
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

             Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable CHEST
                       Classified by Variable SEX

                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEX          N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           26        697.0       1066.0   98.3711595   26.8076923
   M           55       2624.0       2255.0   98.3711595   47.7090909
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             7
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  697.000   Z = -3.74602   Prob > |Z| = 0.0002

         T-Test Approx. Significance = 0.0003

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ =  14.071   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.0002

                              SAS システム                             8
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

            Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KODUKAI
                       Classified by Variable SEX

                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEX          N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           67       7671.0       7370.0   429.740361   114.492537
   M          152      16419.0      16720.0   429.740361   108.019737
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             9
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  7671.00   Z = 0.699259   Prob > |Z| = 0.4844

         T-Test Approx. Significance = 0.4851

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ = 0.49059   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.4837

結果の見方 : Prob>|Z|
- この手法では身長/体重/胸囲/小遣いの検定結果はパラメトリック手法と同じであった。
  - 身長(0.0%)や体重(0.0%)、胸囲(0.0%)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(48.4%)は性別によって平均に差があるとは言えない。

対応のある 2群の検定

薬の投与前後での測定、運動の前後での測定、処置の前後、...
proc univariate の中で表示されている
詳しくは配布資料を参照のこと

プログラム : les1103.sas

 /* Lesson 11-3 */
 /*    File Name = les1103.sas   06/27/02   */

data pair;                                     :
  input x y @@;                                : @@ は 1行に複数のデータがあることを示す 
  dif=x-y;                                     : 差(difference)を計算する
cards;                                         : データをプログラム内に記述する
  3.51 3.39  3.07 3.39  3.29 3.20  3.03 3.11   : x1,y1,  x2,y2,  x3,y3,  x4,y4,
  3.38 3.17  3.30 3.09  3.15 3.17  3.25 3.09   : x5,y5,  x6,y6,  x7,y7,  x8,y8
;                                              :
                                               :
proc print data=pair;                          :
run;                                           :
proc univariate data=pair plot;                :
  var dif;                                     : 差について
run;                                           :

出力結果 : les1103.lst

                              SAS システム                             1
                                             15:02 Monday, June 17, 2002

                      OBS      X       Y      DIF

                       1     3.51    3.39     0.12
                       2     3.07    3.39    -0.32
                       3     3.29    3.20     0.09
                       4     3.03    3.11    -0.08
                       5     3.38    3.17     0.21
                       6     3.30    3.09     0.21
                       7     3.15    3.17    -0.02
                       8     3.25    3.09     0.16

                              SAS システム                             2
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                                Moments

                N                 8  Sum Wgts          8
                Mean        0.04625  Sum            0.37
                Std Dev    0.180629  Variance   0.032627
                Skewness   -1.31523  Kurtosis   1.511099
                USS          0.2455  CSS        0.228388
                CV         390.5489  Std Mean   0.063862
                T:Mean=0   0.724218  Pr>|T|       0.4924
                Num ^= 0          8  Num > 0           5
                M(Sign)           1  Pr>=|M|      0.7266
                Sgn Rank          7  Pr>=|S|      0.3594

                              SAS システム                             3
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                            Quantiles(Def=5)

                 100% Max      0.21       99%      0.21
                  75% Q3      0.185       95%      0.21
                  50% Med     0.105       90%      0.21
                  25% Q1      -0.05       10%     -0.32
                   0% Min     -0.32        5%     -0.32
                                           1%     -0.32
                 Range         0.53                    
                 Q3-Q1        0.235                    
                 Mode          0.21                    

                              SAS システム                             4
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                                Extremes

                   Lowest    Obs     Highest    Obs
                    -0.32(       2)     0.09(       3)
                    -0.08(       4)     0.12(       1)
                    -0.02(       7)     0.16(       8)
                     0.09(       3)     0.21(       5)
                     0.12(       1)     0.21(       6)

                              SAS システム                             5
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF
            Stem Leaf                     #             Boxplot
               2 11                       2                |   
               1 26                       2             +-----+
               0 9                        1             |  +  |
              -0 82                       2             +-----+
              -1                                           |   
              -2                                           |   
              -3 2                        1                |   
                 ----+----+----+----+              
             Multiply Stem.Leaf by 10**-1          

                              SAS システム                             6
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                             Normal Probability Plot              
          0.25+                                  *++++*           
              |                           *++*+++                 
              |                       *++++                       
         -0.05+                *+++*++                            
              |            +++++                                  
              |      ++++++                                       
         -0.35+ +++++     *                                       
               +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
                   -2        -1         0        +1        +2

結果の見方 :
- T:Mean=0 : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための t 統計量
- Pr>=|T| : t 統計量の両側有意確率
  - t 統計量を適用する場合は、差の分布が正規分布に従っていることを仮定している
  - 差の分布が正規分布をしているかを確認するには : Normal Probability Plot
- M(Sign) : 母集団の中央値がゼロであるという仮説を検定するための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|M| : 母集団の中央値がゼロであるという仮説の下で、その符合統計量よりも大きい絶対値が得られる確率
- Sgn Rank : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|S| : 符合付き順位和検定統計量のための近似的有意確率
- この例では、ほぼ正規分布と言えそうだ。少数サンプルなので確度は低い。
- どの統計指標を用いても、差がゼロであることが結構な確率で起りそう : 49.2%, 72.7%, 35.9%
  つまり、差があるとは言えない

変数変換 : 新しい変量の算出
以下に示したような演算子や関数を使って、新しい変量を生成することができる。利用可能なものの一部を掲載しておく。
[例] 以下はあくまでも計算できることの例です。
```
data gakusei;
  infile 'all02.prn' firstobs=2;
  input sex $ height weight chest 
        jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa;

dekasa=height+weight+chest;                   : 変量間の加減乗除
ch_2=chest**2;                                : 二乗
ch_sr=sqrt(chest);                            : ルート
taiseki=ch_2*height                           :
```
[算術演算子]
+ : 足し算を算出します。
- : 引き算を算出します。
* : 掛け算を算出します。
/ : 割り算を算出します。
** : 巾乗を算出します。
sqrt : 平方根(ルート)を算出します。
[数値関数]
arcos : 逆余弦(アークコサイン)を算出します。
arsin : 逆正弦(アークサイン)を算出します。
atan : 逆正接(アークタンジェント)を算出します。
cos : 三角関数の余弦(コサイン)を求めます。
cosh : 双曲線の余弦（コサイン）を求めます。
sin : 正弦（サイン）を算出します。
sinh : 双曲線正弦を算出します。
tan : 正接（タンジェント）を算出します。
tanh : 双曲線正接の値を算出します。

ceil : 引数より大きいかまたは等しい整数のう最小の値を戻します。
floor : 引数値より小さいかまたは等しい整数値のうち最大のものを戻します。
fuzz : 引数と最も近い整数との差が10^-12以内のときに、その整数を戻します。
int : 小数部を切り捨てて、整数値を戻します。
round : 四捨五入します。
tranc : 指定された長さに切り捨てた数値を戻します。
次回は、... :
- 7月04日 14:45 :
  二変量の関係、単回帰分析、...
  7月18日、25日の対処
  
  学部によっては、両日とも試験期間に入っているらしい
  18日 : 相談会?
  25日 : 演習(自習)?
小言 : 電子メールについて
　受け手がそのメール(文章)を読んだだけですんなり理解できる文面にしてほしい。
- 名前や学籍番号を必ず文中に記入しよう。: 最初(か最後)に
- 意見だけでなく、何の話題について書いているのかも最初に触れよう。: 引用もその一手法
- 的確な Subject(タイトル)を付けよう。: 付けるなら。Reply(Re:) でも十分かも。
- (時節の話題も入れよう。)
- (敬語だとか丁寧語を使えと言っているわけではありません。)
- (返事も欲しいなぁ)
- 参考 : MNC 2001年度新入生コンピュータセミナー : 2002年度版もある?

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平均値の比較

統計処理 01 クラス : 第11回(06/27/02)

data gakusei; infile 'all02.prn' firstobs=2; input sex $ height weight chest jitaku $ kodukai carrier $ tsuuwa; dekasa=height+weight+chest; : 変量間の加減乗除 ch_2=chest**2; : 二乗 ch_sr=sqrt(chest); : ルート taiseki=ch_2*height :