手始めに二変量の関係を説明する方法について紹介する。
- 身長と体重の関係 : どのように表現すれば良いのだろうか?
- 数値 : 相関係数、回帰分析 <=== 単変量の場合は「基礎統計量」であった。
- 図 : 散布図 <=== 単変量の場合は「ヒストグラム」であった。
[例] 「 「インターネット人口」をどのように読んだらいいか(Impressの記事, 2000/07/28) 」内の図- 情報通信白書
- 平成20年版 情報通信白書 :2008年7月発表の統計, 国内のインターネット人口
- インターネットの利用状況 : ネット利用者は8811万人
- 概要 (PDF File)
- どの様に分布しているのだろう?
- 分布の仕方を数値的に表現すると?
- プログラム : les1201.sas
/* Lesson 12-1 */ /* File Name = les1201.sas 12/17/08 */ data gakusei; infile 'all08ce.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; if kodukai>=200000 then delete; : 社会人学生とおぼしき者を除外 proc print data=gakusei(obs=10); run; proc plot data=gakusei; : 散布図を描く plot shintyou*taijyuu; : 散布図の変量を指定(縦軸、横軸の順) plot taijyuu*shintyou; : run: : proc corr data=gakusei; : 相関係数(相関行列)を計算 run: : - 出力結果 : les1201.lst
SAS システム 2 13:48 Tuesday, December 16, 2008 プロット : SHINTYOU*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) SHINTYOU | 200 + | | A A B A A A 180 + A BECGDEBHA C B A A A | CAJELIVSLIDHEDBBBC | AFAGJJHGBCDFAAA AA A A 160 + ADEHEJFDBADB | A ECBEEEA A A | A BAA 140 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 3 13:48 Tuesday, December 16, 2008 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) 100 + B | A A A TAIJYUU | A A AAA A B B B A | B B DBDDF ECGBD DCI B BB | A AA AEAB CCECG KEUJMBLGFGE CAECB A A 50 + AAB CACGC EEJBH FBEFG DABDC BC | A A B D BA BA | | | 0 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 4 13:48 Tuesday, December 16, 2008 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 382 167.8 8.2930 64117.7 145.0 188.0 TAIJYUU 343 58.9534 9.3369 20221.0 35.0000 100.0 KYOUI 115 86.6348 7.5618 9963.0 56.0000 112.0 KODUKAI 367 44820.2 41260.9 16449000 0 180000 TSUUWA 173 6612.3 4375.1 1143932 0 30000.0 SAS システム 5 13:48 Tuesday, December 16, 2008 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.70594 0.41886 0.03226 0.05213 0.0 0.0001 0.0001 0.5423 0.4996 382 343 115 359 170 TAIJYUU 0.70594 1.00000 0.65897 0.01313 0.03574 0.0001 0.0 0.0001 0.8141 0.6599 343 343 115 323 154 KYOUI 0.41886 0.65897 1.00000 -0.05315 -0.13017 0.0001 0.0001 0.0 0.5813 0.4113 115 115 115 110 42 KODUKAI 0.03226 0.01313 -0.05315 1.00000 0.24584 0.5423 0.8141 0.5813 0.0 0.0014 359 323 110 367 167 TSUUWA 0.05213 0.03574 -0.13017 0.24584 1.00000 0.4996 0.6599 0.4113 0.0014 0.0 170 154 42 167 173 - 結果の見方
- 縦軸と横軸の該当部分が交差したところにマークを付置
- データが1つなら「Aマーク」、2つなら「Bマーク」、3つなら「Cマーク」、...
- データ全体がどこに分布しているかが判る
- 縦軸と横軸を交換するだけで印象が異なる
- 各変量の平均値との比較
- 外れ値(Outlier)を見つける <===> 異常値
- サンプルサイズ、平均、標準偏差、最大値、最小値 <=== proc means だけでなく proc corr でも得られる。
- 相関係数(R) / 仮説「相関係数(R)=0」の起る確率 / サンプルサイズ
- -1 ≦ 相関係数(R)≦ 1
- R＝0 : 無相関。R＞0 : 正の相関、右肩上がり。R＜0 : 負の相関、右肩下がり。 [参考] 図6.4 (P116)
- 相関係数(R)が 0 かの検定 : 値が小さいと有意(相関係数が 0 とは言えない、何らかの関係があると言える)
この例 : 身長と体重、身長と胸囲、体重と胸囲、小遣い額と通話料の間には有意な関係があると言える(5%, 1%)。
[注意] 相関行列は細切れに表示されるので、 不要部分を削除することによって整形しレポート等に使うこと。
[補足] 上のプログラムでは小遣い額が20万円以上の者を 除外したが、除外せずに実行するとどのような結果が得られるであろうか? 「小遣い額と胸囲」、「小遣い額と通話料金」の相関係数の部分に注目せよ。 少数例(ここでは6例)の影響で相関係数が大きく変化していることに注意せよ。
KODUKAI 0.07398 0.01594 -0.26650 1.00000 0.68375 0.1584 0.7733 0.0042 0.0 0.0001 365 329 114 373 168
過去のデータからその構造を把握し、新規に測定されたデータに対する予測を 行ないたいと言うときに、回帰分析は有用である。 構造のシンプルな単回帰分析でこの手法の原理を理解し、 複数の説明変量を用いた重回帰分析に拡張する。 残差の取り方や、その二乗和を最少にするという考えは同じである。
- 体重を身長で説明(回帰)したい : [体重]=a[身長]+b : 回帰係数
- 説明される変量と説明する変量 : 説明する変数が一つ ＝ 「単」 <===>「重」
- 説明される変量 : 目的変数、従属変数、dependent variable
- 説明する変量 : 説明変数、独立変数、制御変数、independent variable
- どうやって直線を決める? : 予測誤差の2乗和を最小にする
- プログラム : les1202.sas
/* Lesson 12-2 */ /* File Name = les1202.sas 12/17/08 */ data gakusei; infile 'all08ce.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc reg data=gakusei; : 回帰分析 model taijyuu=shintyou; : 変量を指定 output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : 結果項目の保存 run; : : proc print data=outreg1(obs=15); : 表示してみる run; : : proc plot data=outreg1; : 散布図を描く plot taijyuu*shintyou/vaxis=20 to 100 by 20; : 体重と身長(縦軸指定) plot pred1*taijyuu; : 予測値と観測値 plot resid1*pred1 /vref=0; : 残差と予測値(残差解析)(水平軸指定) plot resid1*shintyou/vref=0; : 残差と説明変数(残差解析) plot resid1*taijyuu /vref=0; : 残差と目的変数(残差解析) run; : : proc univariate data=outreg1 plot normal; : 残差を正規プロットして確かめる var resid1; : run; :[補足] proc plot の下に以下の行を追加した方がより正確ではある。 欠損値を含むデータを解析対象から除外する事を指示する命令文である。 「欠損値です」の表示が無くなるだけで、得られる図は同じ(欠損値は描画できないから)。 試しに追加する/しないの両方で実行してみよ。where shintyou^=. and taijyuu^=.;
- 出力結果 : les1202.lst
SAS システム 2 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 14977.39021 14977.39021 329.883 0.0001 Error 347 15754.52171 45.40208 C Total 348 30731.91192 Root MSE 6.73811 R-square 0.4874 Dep Mean 58.95129 Adj R-sq 0.4859 C.V. 11.42996 SAS システム 3 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -77.971483 7.54730643 -10.331 0.0001 SHINTYOU 1 0.811137 0.04465954 18.163 0.0001 SAS システム 4 13:46 Tuesday, December 16, 2008 S H T K C I A J O A T R N I K I D R S P E T J Y T U R U R S O S Y Y O A K Y U E I B E O U U K A E W D D S X U U I U I R A 1 1 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . 39.6434 -1.6434 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 41.0224 -0.0224 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . 42.0768 -0.0768 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 42.0768 0.9232 5 F 148.9 . . J 60000 . 42.8069 . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . 42.8880 2.1120 7 F 150.0 46.0 86 40000 . 43.6991 2.3009 8 F 150.0 . . J 10000 softbank 80 43.6991 . 9 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 44.5103 0.4897 10 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . 44.5103 5.4897 11 F 151.7 41.5 80 J 35000 . 45.0781 -3.5781 12 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 45.3214 -10.3214 13 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 45.3214 -2.3214 14 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 45.3214 -1.3214 15 F 153.0 41.0 . J 125000 No . 46.1325 -5.1325 SAS システム 6 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) TAIJYUU | 100 + B | A A A 80 + A A AAA B B B B A | B B DBDDF ECGBD DCI B BB 60 + A AA AEAB CCECG KEUJMBMGFGE CBECB A A | AAB CACGC EEJBI FBEGG DABDC BC A 40 + A A B D BA BA | 20 + | --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 7 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : PRED1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) 80 + | A PRED1 | A A B A A A | AA BDADFBB I BA A A A A | ABBCCCNIEECIBB A BC A 60 + CGDMHHJNEKBBADBBC A A | AH FHDIADCAAE A A | BCFEFHACAACA | DABDDBEA AA A | A BBCA A 40 + A A ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 8 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A i 25 + A A A A d | A B BAAA BA A u | A A AA ABABBBB BDBCDEDBB ACA A AA a 0 +--------------AABAAACCBDGCCDJCEECFDIIFSIKJHIEECBK-A-AB----------- l | AA BAB C DB CGDDADGFCCDFBDBCBBAA | A A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 30 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 9 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A i 25 + A A A A d | A B BAA A B A A u | A A AA ABAB BBB B DBCDE DBB A CA A AA a 0 +--------A-A-BAAAC-DBCGC-CDKBE-ECFDI-JESGLAJHIEE-CBK-A--AB-------- l | A A BA BAB D B CFE DADGEADBDDD DBCBB AA | A A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 10 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 50 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A i 25 + A A A A d | A BCBC A u | A ABADCBKBECGBCA B A A a 0 +--------------A-DBEEFGOLESGLVVIOEJ-HA-------------------- l | A CABDL ENGIEEHCDB | A A A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 11 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 349 Sum Wgts 349 Mean 0 Sum 0 Std Dev 6.728418 Variance 45.27161 Skewness 1.292627 Kurtosis 3.428403 USS 15754.52 CSS 15754.52 CV . Std Mean 0.360164 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 349 Num > 0 151 M(Sign) -23.5 Pr>=|M| 0.0137 Sgn Rank -3571.5 Pr>=|S| 0.0582 W:Normal 0.926973 Pr<W 0.0001 SAS システム 15 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 35+* 1 * .** 5 0 .***** 19 0 .******************************** 126 +--+--+ .************************************************ 189 *-----* -15+*** 9 | ----+----+----+----+----+----+----+----+----+--- * may represent up to 4 counts SAS システム 16 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 35+ * | ***** | *******++++ | ++************** | ********************** -15+******+++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 - 結果の見方
- 対象になったのは 349名。
- 説明変量が予測に役立っているか?
- 回帰に役立っているか : Prob>F : 小さいと有意(役立っている)
- [この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
- 回帰に役立っているか : Prob>F : 小さいと有意(役立っている)
- 決定係数 : R-Square ( 相関係数 : R )
- 目的変量が説明変量でどの程度説明しているかの割合。
- 1 に近いほど当てはまりが良いと言える。
- [この例] 50% 程(半分, 48.7)を説明できている。
- 回帰係数 : Parameter Estimate
- [この例] a=0.811, b=-78.0
- 説明変数が予測に役立っているか?
回帰係数の検定(係数=0 か?) : Prob>|T| : 小さいと有意(ゼロではないと言える)- [この例] 両者とも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
- 残差の性質 ===> 正規性 : 残差プロット、残差解析
- 残差(予測誤差)は正規分布をしていると仮定してモデルが構築されている。
- この仮定が覆ると、回帰分析として成立していないことになる。
- 残差が正規分布をしているか確認する必要がある。
- 均等に散らばっているか?
- 傾向はないか?
- ...
- [この例] a=0.811, b=-78.0
[注意] 誤差は「説明変量」の軸と垂直に取ることに注意せよ。 誤差は測定時に混入していると考えてモデルが構築されているから。
前節の正規確率プロットを見ると、体重の大きい 4〜5例程度が 正規性を乱していることが判った。 そこで体重の大きい者を除外して再度回帰分析にかけてみよう。 その際、除外すると言うよりは、「解析対象者を条件付けして絞る」と 考えた方が解りやすいかもしれない。 ここでは「85Kg 未満の者を対象として」解析を行なう例を示す。
[注意] 「正規性を乱している者は何でも除外してかまわない」というわけではない。 今回の場合は、元データに戻ったところ、体育会系のずんぐりした者であったため、 普通の大学生とは異なる性質を有していると判断し除外対象とした。 除外する場合にはその根拠を明確にしないと、「恣意的な解析」と言われかねないことに注意せよ。
- プログラム : les1203.sas
/* Lesson 12-3 */ /* File Name = les1203.sas 12/17/08 */ data gakusei; infile 'all08ce.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; if shintyou=. | taijyuu=. then delete; : 欠損値データを除外 proc print data=gakusei(obs=10); run; proc corr data=gakusei; where taijyuu<85; : 対象データを絞る run; proc reg data=gakusei; model taijyuu=shintyou; where taijyuu<85; : 対象データを絞る output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; run; proc print data=outreg1(obs=15); run; proc plot data=outreg1; where taijyuu<85; : 対象データを絞る plot taijyuu*shintyou; plot taijyuu*pred1; plot resid1*(pred1 shintyou taijyuu)/vref=0; : まとめて指定することも可 run; proc univariate data=outreg1 plot normal; var resid1; run; - 出力結果 : les1203.lst
SAS システム 2 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 344 168.7 8.0236 58018.1 145.0 188.0 TAIJYUU 344 58.4724 8.5544 20114.5 35.0000 84.0000 KYOUI 115 85.6783 7.8624 9853.0 46.0000 110.0 KODUKAI 324 50091.0 56636.6 16229500 0 500000 TSUUWA 154 7273.7 7371.8 1120152 0 80000.0 SAS システム 3 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.71424 0.28515 0.07165 0.07556 0.0 0.0001 0.0020 0.1983 0.3517 344 344 115 324 154 TAIJYUU 0.71424 1.00000 0.37169 0.03782 -0.00486 0.0001 0.0 0.0001 0.4976 0.9523 344 344 115 324 154 KYOUI 0.28515 0.37169 1.00000 -0.27544 -0.12792 0.0020 0.0001 0.0 0.0036 0.4254 115 115 115 110 41 KODUKAI 0.07165 0.03782 -0.27544 1.00000 0.71489 0.1983 0.4976 0.0036 0.0 0.0001 324 324 110 324 148 TSUUWA 0.07556 -0.00486 -0.12792 0.71489 1.00000 0.3517 0.9523 0.4254 0.0001 0.0 154 154 41 148 154 SAS システム 6 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 12804.27573 12804.27573 356.153 0.0001 Error 342 12295.45192 35.95161 C Total 343 25099.72765 Root MSE 5.99597 R-square 0.5101 Dep Mean 58.47238 Adj R-sq 0.5087 C.V. 10.25436 SAS システム 7 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -69.956922 6.81295152 -10.268 0.0001 SHINTYOU 1 0.761481 0.04034974 18.872 0.0001 SAS システム 10 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A A 75 + A B BBC B C B CA A A | BC B DBICEAEDGDD CCMAB BA | A AA AEAB CADCG JEOJLALFEEE CAABA A A 50 + AA CACGB DEHBH FBEGG DABDC BC A | A A BA AC BA BB A B A | A 25 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 11 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : TAIJYUU*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A A 75 + A BBBCAACAACA A A | BC BFHDEFDGDDCELB BA | A AAAEABCADDFONKLLGEGCCACAA A 50 + AA CACGFDHCHFBEHFEBDC BC A | AABA ACBA CB B A | A 25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 12 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A A d | A A AAABC AC BA A u | A B B AABBBBBABFAHDDDBD AB A a 0 +---AA-BAAABBDGACDHCEEAFCIFGKHKKGGEECBK-A-AB-------------- l | A BABBB E DBBCFECBEFDDCBDDCBBCBAA | A AA C A A A -20 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 13 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A A d | A A AAABC A C B A A u | A B B ABAB BBBAB FAICD DBD BA A a 0 +--------A-A-BAAAB-BACGA-CDIBE-EAFCI-HELGKAJHFEE-CBK-A--AB-------- l | A BA BB BAD D BBCFE DAEFDADBBDD CBCBB AA | A AA C A A A -20 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 14 13:46 Tuesday, December 16, 2008 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A B A d | A AAAB CB BCA A u | B A A B AE DFDJBAGAEB AB a 0 +----------A--AABABDADGGEFEEMFEJCUFODEGECD-H-A-------------------- l | ADAACDEI BBFGFEFDDAHC DAA | A C BAA A -20 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 30 40 50 60 70 80 90 TAIJYUU SAS システム 15 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 344 Sum Wgts 344 Mean 0 Sum 0 Std Dev 5.98722 Variance 35.8468 Skewness 0.771849 Kurtosis 0.965765 USS 12295.45 CSS 12295.45 CV . Std Mean 0.322809 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 344 Num > 0 150 M(Sign) -22 Pr>=|M| 0.0203 Sgn Rank -2586 Pr>=|S| 0.1615 W:Normal 0.955554 Pr<W 0.0001 SAS システム 18 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 22.5+* 2 0 .** 4 0 .****** 16 0 .************** 40 | .****************************** 88 +--+--+ .********************************************** 136 *-----* .***************** 49 | -12.5+*** 9 | ----+----+----+----+----+----+----+----+----+- * may represent up to 3 counts SAS システム 19 13:46 Tuesday, December 16, 2008 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 22.5+ * | **** | *******++++ | *******+ | ++******** | ************* | **********+ -12.5+******+++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 - 結果の見方 : 前節と本節の出力結果を比較して違いを明確にせよ
- 対象になったのは 344名。
- 当てはまりは良くなったか? : 異常値と外れ値の意味するもの
- 残差の正規性はどのように変化したか?
- 回帰係数はどのように変化したか?
- 説明力(決定係数)はどのように変化したか?
- 単に体重の重い者だけが正規性を乱している訳ではなさそうだ。
- 重回帰分析
- ...
- 良い年をお迎え下さい!