主成分分析

統計解析 02 クラス : 第14回 (07/10/08)

　いくつか(p個)の変量の値を情報の損失をできるだけ少なくして、少数変量(m個、m＜p)の総合的指標(主成分)で代表させる方法として主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)がある。いくつかのテストの成績を総合した総合的成績、いろいろな症状を総合した総合的な重症度、種々の財務指標に基づく企業の評価等を求めたいといった場合に用いられる。
　p変量(p次元)の観測値をm個(m次元)の主成分に縮約させるという意味で、次元を減少させる方法ということもでき、多変量データを要約する一つの有力な方法である。

2変量の場合の主成分分析 : 理解を助けるため

定式化 : 配布資料 54ページ～
- 重み(係数) : a1、a2
- 合成変量(線形結合) : z
- よく代表するように、a1 と a2 を決める。
- より広がって測定できる軸に沿うと情報量が多い。
  　　　[参考:立体の測定] ノギス、ノギスの使い方・目盛りの読み方
- 全測定値の分散を最大化する軸を決定する。

身長と体重の総合指標を求めよう : プログラム : les1401.sas

 /* Lesson 14-1 */
 /*    File Name = les1401.sas   07/10/08   */

data gakusei;
  infile 'all08ae.prn'
    firstobs=2;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc plot data=gakusei;                        : 散布図
  plot shintyou*taijyuu;                       : 元の変量のプロット
run;                                           :
proc princomp cov data=gakusei out=outprin;    : 主成分分析(分散共分散行列)
  var shintyou taijyuu;                        : 2変量
run;                                           :
proc print data=outprin(obs=15);               : 結果の出力
run;                                           :
proc plot data=outprin;                        : 散布図
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;              : 主成分得点のプロット
run;                                           :
                                               : 参考までに、
proc sort data=outprin;                        : 説明のためにソートしてみる
  by prin1;                                    : 第一主成分で
run;                                           :
proc print data=outprin;                       : 体重がややが効いていることの確認
run;                                           :

出力結果 : les1401.lst

身長と体重の散布図
各変量の平均、標準偏差、分散共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率 : 解釈に使う
固有ベクトル(係数a1とa2) : 解釈に使う
主成分得点 : 各個人の得点(z)、2つある
第1軸と第2軸の主成分得点の散布図

SAS システム 2 14:14 Tuesday, July 8, 2008 プロット : SHINTYOU*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 54 オブザベーションが欠損値です．) SHINTYOU | 200 + | | A A B A A 180 + A BFCGDEBGA C B A A A | CAJELIWRLHDHEDBABC A | AGAGJJHGCCDEAA AA A A 160 + ADFHEIFDBADB | A ECBEEEA A A | A BAA 140 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 3 14:14 Tuesday, July 8, 2008 Principal Component Analysis 341 Observations 2 Variables Simple Statistics SHINTYOU TAIJYUU Mean 168.6885630 58.75601173 StD 8.0525819 9.28623272 SAS システム 4 14:14 Tuesday, July 8, 2008 Principal Component Analysis Covariance Matrix SHINTYOU TAIJYUU SHINTYOU 64.84407469 52.26114249 TAIJYUU 52.26114249 86.23411816 Total Variance = 151.07819286 Eigenvalues of the Covariance Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative PRIN1 128.883 106.689 0.853090 0.85309 PRIN2 22.195 . 0.146910 1.00000 SAS システム 5 14:14 Tuesday, July 8, 2008 Principal Component Analysis Eigenvectors PRIN1 PRIN2 SHINTYOU 0.632262 0.774755 TAIJYUU 0.774755 -.632262 SAS システム 6 14:14 Tuesday, July 8, 2008 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . -31.0582 -5.22960 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 -27.6591 -5.80930 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . -26.0624 -5.43438 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 -25.2876 -6.06665 5 F 148.9 . . J 60000 . . . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . -23.1059 -6.55641 7 F 150.0 46.0 86 40000 . -21.6988 -6.41392 8 F 150.0 . . J 10000 softbank 80 . . 9 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 -21.8413 -5.00690 10 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . -17.9676 -8.16821 11 F 151.7 41.5 80 J 35000 . -24.1104 -2.25166 12 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 -28.9566 2.09047 13 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 -22.7586 -2.96763 14 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 -21.9838 -3.59989 15 F 153.0 41.0 . J 125000 No . -23.6758 -0.92835 SAS システム 8 14:14 Tuesday, July 8, 2008 プロット : PRIN2*PRIN1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 54 オブザベーションが欠損値です．) 20 + | | | A PRIN2 | A | A | BB DACBBACDAA B | A D GBAFCDGHDFFHCBED A A 0 +-------------BBBBBCFCBJ-CHFHFFINDACGC-G-AA-----A--------- | A AAAABBACGCAADCB D CBCDDBCEE A AAA | AAA AA A A C B|BA A AA AAB A | A | AA A A | | A A -20 + | A A ---+------------+------------+------------+------------+-- -40 -20 0 20 40 PRIN1 SAS システム 9 14:14 Tuesday, July 8, 2008 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 1 F 148.9 . . J 60000 . . . 2 F 150.0 . . J 10000 softbank 80 . . 3 F 153.0 . . G 120000 DoCoMo 200 . . ≪中略≫ SAS システム 48 14:14 Tuesday, July 8, 2008 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 344 M 180.0 64.0 90 J 35000 . 11.2146 5.4480 345 M 180.0 64.0 90 G 60000 au 10000 11.2146 5.4480 346 M 179.0 65.0 . J 0 . 11.3571 4.0410 347 M 168.0 74.0 . G 120000 DDIp 15000 11.3750 -10.1717 348 M 178.0 66.0 95 J 30000 au 3000 11.4996 2.6340 349 M 173.8 69.6 90 J 30000 DoCoMo 13000 11.6332 -2.8961 350 M 177.0 67.0 . 4000 DoCoMo 8000 11.6421 1.2270 351 M 180.0 65.0 88 J 30000 . 11.9893 4.8158 352 M 180 65 . G 100000 . 11.9893 4.8158 353 M 179 66 . 30000 . 12.1318 3.4087 354 M 168 75 . G 150000 . 12.1498 -10.8039 355 M 173 71 100 G 0 . 12.2120 -4.4011 356 M 178 67 . J 0 . 12.2743 2.0017 357 M 172 72 89 G 150000 . 12.3545 -5.8081 358 M 172 72 . G 60000 au 3500 12.3545 -5.8081 359 M 177 68 . G 80000 . 12.4168 0.5947 360 M 182.0 64 . G 0 . 12.4791 6.9975 361 M 165.0 78 . G 0 2098 12.5772 -15.0250 362 M 170.0 74 90 J 0 . 12.6395 -8.6221 363 M 175.0 70 95 G 50000 8000 12.7018 -2.2193 364 M 178.0 68 . J 100000 DoCoMo 4000 13.0491 1.3695 365 M 188.0 60 . J 0 au . 13.1737 14.1751 366 M 171.0 75 80 J . DoCoMo 13000 14.0465 -8.4797 367 M 184.0 65 . G 140000 au 10000 14.5184 7.9148 368 M 170.0 78.0 . 45000 Vodafone 10000 15.7385 -11.1512 369 M 179.9 70.0 . J 15000 DoCoMo 700 15.7999 1.5770 370 M 175.0 74.0 . J 0 . 15.8008 -4.7484 371 M 180.0 70.0 94 G 70000 au 5000 15.8631 1.6545 372 M 180.0 70.0 . J 40000 au 4000 15.8631 1.6545 373 M 180.0 70.0 . . . 15.8631 1.6545 374 M 180.0 70.0 . J 40000 DoCoMo 6500 15.8631 1.6545 375 M 180.0 70.0 . 5000 3000 15.8631 1.6545 376 M 178.7 71.2 95 0 . 15.9709 -0.1114 377 M 173.5 76.5 . G 100000 . 16.7893 -7.4912 378 M 184.0 68.0 85 30000 . 16.8427 6.0180 379 M 182.0 70.0 90 G 100000 . 17.1276 3.2040 380 M 185.0 68.0 93 J 0 . 17.4749 6.7927 381 M 175.0 77.0 95 G 130000 . 18.1251 -6.6452 382 M 178.0 75.0 . G 60000 DoCoMo 10000 18.4724 -3.0564 383 M 179.1 74.2 . 0 au 4000 18.5481 -1.6983 384 M 175.0 79.0 . J 0 No 0 19.6746 -7.9097 385 M 176.5 78.0 96 J 10000 . 19.8482 -6.1153 386 M 177.0 78.0 . J 40000 . 20.1644 -5.7279 387 M 181.5 74.5 . G 120000 au 3000 20.2979 -0.0286 388 M 185.0 72.0 . J 30000 7000 20.5739 4.2637 389 M 178.0 78.0 110 G 50000 . 20.7966 -4.9532 390 M 173.0 84.0 46 G 350000 . 22.2839 -12.6205 391 M 169.3 88.5 94 J 0 . 23.4309 -18.3323 392 M 186.0 82.0 . J 0 . 28.9538 -1.2842 393 M 182.0 90.0 100 J 40000 . 32.6227 -9.4413 394 M 178.0 95.0 . 1000 No . 33.9675 -15.7016 395 M 178.0 100.0 112 G 60000 . 37.8412 -18.8629

解釈方法
- 寄与率 : その軸がどの程度説明力を持っているか : 第1軸だけで十分(85.3%)。第2軸に含まれる説明力は小さい(14.7%)。
- 固有ベクトル : その軸の特徴を示している : 身長と体重の重みはほぼ同等だが、体重がやや大きめに効いている(第1軸)
- 主成分得点と散布図 : 各個人がどこに付置されているか
- 第1軸 : 全体的な体格の指標。身長と体重を足したような指標。

3変量以上の主成分分析

定式化 : 資料 71ページ～
- 2変量の拡張
- 合成変量(線形結合) : z
- 合成変量の分散を最大化する軸を決定する。

身長、体重、胸囲での総合指標を求めてみよう : プログラム : les1402.sas

/* Lesson 14-2 */ /* File Name = les1402.sas 07/10/08 */ data gakusei; infile 'all08ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc princomp cov data=gakusei out=outprin; : 主成分分析(分散共分散行列) var shintyou taijyuu kyoui; : 3変量 run; : proc print data=outprin(obs=15); : 結果の出力 run; : proc plot data=outprin; : 散布図 plot prin2*prin1/vref=0 href=0; : 主成分得点のプロット plot prin3*prin2/vref=0 href=0; : plot prin3*prin1/vref=0 href=0; : run; :

出力結果 : les1402.lst

各変量の平均、標準偏差、共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                              SAS システム                             3
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis
     117 Observations
       3 Variables
                           Simple Statistics

                     SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

       Mean       167.2401709       58.74700855       86.05982906
       StD          8.6936070       10.91957727        8.29342344

                              SAS システム                             4
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis

                           Covariance Matrix

                       SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

     SHINTYOU        75.5788034        69.8705953        23.3225759
     TAIJYUU         69.8705953       119.2371677        42.3221633
     KYOUI           23.3225759        42.3221633        68.7808724

                              SAS システム                             5
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis

                      Total Variance = 263.5968435

                  Eigenvalues of the Covariance Matrix

            Eigenvalue      Difference      Proportion      Cumulative

 PRIN1         189.641         138.592        0.719436         0.71944
 PRIN2          51.049          28.142        0.193663         0.91310
 PRIN3          22.907            .           0.086900         1.00000

                              SAS システム                             6
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis

                              Eigenvectors

                            PRIN1         PRIN2         PRIN3

           SHINTYOU      0.539180      -.386311      0.748364
           TAIJYUU       0.756989      -.167162      -.631684
           KYOUI         0.369124      0.907095      0.202303

                              SAS システム                             7
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
          S
          H     T          K   C
          I     A     J    O   A           T
          N     I   K I    D   R           S     P       P        P
          T     J   Y T    U   R           U     R       R        R
   O  S   Y     Y   O A    K   Y           U     I       I        I
   B  E   O     U   U K    A   E           W     N       N        N
   S  X   U     U   I U    I   R           A     1       2        3

    1 F 145.0 38.0  . J  10000             .    .      .        .     
    2 F 146.7 41.0 85 J  10000 Vodafone 6000 -24.9003 9.94015 -4.37542
    3 F 148.0 42.0  . J  50000             .    .      .        .     
    4 F 148.0 43.0 80 J  50000 DoCoMo   4000 -24.5311 4.56815 -5.67743
    5 F 148.9   .   . J  60000             .    .      .        .     
    6 F 149.0 45.0  . G  60000             .    .      .        .     
    7 F 150.0 46.0 86    40000             . -18.9670 8.73661 -4.86194
    8 F 150.0   .   . J  10000 softbank   80    .      .        .     
    9 F 151.0 45.0  . J  20000 docomo   5000    .      .        .     
   10 F 151.0 50.0  . G  60000 J-PHONE     .    .      .        .     
   11 F 151.7 41.5 80 J  35000             . -23.6716 3.38954 -1.96095
   12 F 152.0 35.0 77 J  60000 DoCoMo   2000 -29.5376 1.63891  1.76260
   13 F 152.0 43.0  . J  20000 au       3500    .      .        .     
   14 F 152.0 44.0  .    45000 DoCoMo   4000    .      .        .     
   15 F 153.0 41.0  . J 125000 No          .    .      .        .     

                              SAS システム                             9
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
        プロット : PRIN2*PRIN1.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 278 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN2 |                          |
   20 +                          |
      |                          |  A   A          A         A
      |           BA  BB CCA   D | A AC     A
    0 +--------A----A-ABCEBED-DAAADADEABCDBAC-AA-A-----A----------------
      |              A  AA    A  A C B BC A A
      |                      AA  | A AA
  -20 +                          |
      |                 A        |
      |                          |
  -40 +                          |   A
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -40         -20          0          20          40          60
                                     PRIN1

                              SAS システム                            10
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
        プロット : PRIN3*PRIN2.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 278 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN3 |                                             |
   10 +                                      A A  A |
      |                                   B A  AB BB|AB
      |                                     AA  C ABFFBA AA
    0 +-------------------------------A----B-A--AA-BEDEEBBCAA----B------
      |                     A               A A  ACBAAECAB ABA   A
      |                                        A    A A B
  -10 +                                    A       A|      A
      |                                             |          A
      |                                             |A
  -20 +      A                                      |
      -+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+-
      -50      -40      -30      -20      -10       0       10       20
                                     PRIN2

                              SAS システム                            11
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
        プロット : PRIN3*PRIN1.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 278 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN3 |                          |
   10 +                          | A   A    A
      |                    B     |AB C  C B
      |        A      A AD  B B  |ABBBBAA   C
    0 +---------------ABBBEBAABCAABA-CBAAB-AA------A--------------------
      |           AAAAABBB BA A  A  CAAAAB    AA
      |           A           AA |        A            A
  -10 +                  A     A |      A
      |                          |                           A
      |                          |               A
  -20 +                          |   A
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -40         -20          0          20          40          60
                                     PRIN1

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(91.3%)。
- 第1軸 : 全体的な体格の因子。特に体重が効いている。
- 第2軸 : 太さの因子(?)。胸囲が正で身長が負。
- 第3軸 : 華奢さの因子(?)。無視しても良い軸であるが。(8.7%)。

相関行列を使う理由

変量によって測定単位が異なる
使う単位によって解析結果が異なる
分散の影響を受ける
各変量を標準化して用いる : 相関行列 <===> 分散共分散行列

相関行列を用いて体格の総合指標を求めてみよう : プログラム : les1403.sas

 /* Lesson 14-3 */
 /*    File Name = les1403.sas   07/10/08   */

data gakusei;
  infile 'all08ae.prn'
    firstobs=2;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);

run;                                          :
proc princomp data=gakusei out=outprin;       : 相関係数を使って
  var shintyou taijyuu kyoui;                 :
run;                                          :
proc print data=outprin(obs=15);
run;
proc plot data=outprin;
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin2/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin1/vref=0 href=0;
run;

出力結果 : les1403.lst

各変量の平均、標準偏差、相関行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                              SAS システム                             3
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis
     117 Observations
       3 Variables
                           Simple Statistics

                     SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

       Mean       167.2401709       58.74700855       86.05982906
       StD          8.6936070       10.91957727        8.29342344

                              SAS システム                             4
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis

                           Correlation Matrix

                         SHINTYOU       TAIJYUU         KYOUI

           SHINTYOU        1.0000        0.7360        0.3235
           TAIJYUU         0.7360        1.0000        0.4673
           KYOUI           0.3235        0.4673        1.0000

                              SAS システム                             5
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis

                 Eigenvalues of the Correlation Matrix

            Eigenvalue      Difference      Proportion      Cumulative

 PRIN1         2.03875         1.32250        0.679582         0.67958
 PRIN2         0.71625         0.47124        0.238750         0.91833
 PRIN3         0.24500          .             0.081668         1.00000

                              SAS システム                             6
                                             14:15 Tuesday, July 8, 2008
                      Principal Component Analysis

                              Eigenvectors

                            PRIN1         PRIN2         PRIN3

           SHINTYOU      0.602312      -.470373      0.644957
           TAIJYUU       0.640887      -.196740      -.741995
           KYOUI         0.475904      0.860257      0.182957

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(91.8%)。
- 第1軸 : 全体的な体格の因子。
- 第2軸 : 太さの因子。
- 分散共分散行列を使ったときよりも第1軸の固有ベクトル同士が近い値になった。しかし、軸の解釈に違いはない。その理由はこの例では 3変量のスケールや分散にそれほどの違いがないためと想像される。
- 分散共分散行列と相関行列を使ったときの違いを見てみたければ、 shintyou のみを mm 単位で測定したと考えて、 100倍したものをデータとして両者の出力を比較してみよ。
  プログラム : les1404.sas 、出力結果 : les1404.lst

主成分の数の決定基準 : 配布資料 80ページ
明確に決まっているわけではないが、以下のような基準が一般的に用いられている。また、結果の解釈の都合上、多少増減させることもある。
- 累積寄与率がある程度(例えば80%以上)以上大きくなること
- 相関行列を用いている場合、固有値が 1以上
- 固有値のギャップがある程度以上大きいこと
- ...
いろいろなデータを主成分分析に適用して、解釈してみよう
[演習1] 小遣いまでの 4変量のデータでは?
[演習2] 自分の収集したデータでは?
[注意] データによっては解釈が困難なことも有り得る。
また、自分の思い付かない結果を含んでいることもある。
[参考] 「J:\コンピュータによる統計解析02(林篤裕)\」に以下のデータを置いておく。
1. seiseki.dat
  
  中学2年生の成績データ。23名x5科目。国語、社会、数学、理科、英語。
  配布資料に掲載され、例題に使われていたデータ。
2. food.dat
  
  100 種類の食品の嗜好度データ。100食品x10グループ。
3. syumi.dat
  
  趣味に関するアンケート調査データ。30種類x6グループ。
最終レポート
半年を通して学んできた SAS の使い方、および統計手法を、自分が興味を持ったデータに適用してみて、興味深い知見を得る体験をしてもらう。
1. 対象データ :
  - 自分で収集したデータ。
  - 一つである必要はない。複数でも良い。
  - 前回用いたものと異なっていても可。
2. 作業内容 :
  1. SAS を使って解析し、興味深い知見を引き出そう。
  2. 以下の点に注意しながらレポートを作成しよう。
  3. 利用するデータ解析手法については、特に制限や指定をしないが、「多変量解析の手法」を使うとより高度なデータ構造が把握できることがある。
  4. 前回のレポートの反省点を踏まえて作成すること。
  5. 興味を持った点や得られた知見に対する考察は人によって個々異なるものであるので、他人と相談することなく自分の力で解析しレポートを作成すること。
3. レポート : 以下に挙げるような項目を含めて作成すること。
  - 所属学部名、学籍番号、氏名
  - データ内容の説明
  - どのような点に興味を持ったか
  - 自分の解析目的
  - 何を知りたいためにどのような手法を使ったのか
  - 得られた知見と考察
  - その他、気付いたこと
  - 講義全体を通しての感想 : 今後の参考にしたいので
4. 提出期限 :
  2008年07月31日(木) 16:00まで
  
  注意 :
  
  紙で提出する場合は、事務所の受付終了時刻に注意すること。提出日は事務室の受領印で判断する。
  電子メールで提出する場合に、添付ファイルは使わないこと。また、提出日時はメールヘッダーから判断する。受領確認メールを必ず返すのでこれを受け取って提出完了となる。
  
  レポートを受領した者の学籍番号は、講義の連絡ページに掲載するので、確認すること。ただし、2回とも提出したからと言って単位が認定されるわけではない点には注意されたい。
データやプログラムのバックアップ
講義を終えると(後期開始まで? 年度末まで?)、 stat システムにログインできなくなり、それと同時に stat システム内に保存してあるデータやプログラムも呼び出せなくなる(正確には消去されてしまう)。この半年間の勉強成果を残しておきたい人は、Windows 側に転送して、 FD や MO、USB メモリー等に早めにバックアップを取るようにして下さい。
最後に
この講義を通して、「統計」や「データ解析」と言う言葉に多少なりとも親しみを持っていただけただろうか? 統計手法については、数式よりもその手法の考え方や利用目的に重点をおいて説明したつもりである。また、それらを計算する"道具"として SAS を使った。
今後、新聞や雑誌と言った生活では勿論のこと、いろいろな場面で、種々の数値列に出会うことになると思うが、提示された数値にはどの様な意味(と意図)があり、どう理解して、個々人としてどうアクションを起すかの、一つの判断手段として活用してもらえれば幸いである。
なお、今まで紹介していた私のメールアドレスは実は講義用のものであった。今後、もし統計に関して何か疑問に出会い、私に連絡・相談してみたいと思った時は、以下のアドレスを使ってください。なお、後期は水曜日3限に同様の講義を持っていますので、その前後に質問していただいてもかまいません。
メールアドレス : hayashi@rd.dnc.ac.jp
皆さんの期待に応えられたか心許無い部分もありますが、半年間ご苦労様でした。
次回は、... : 07月24日? 31日?

07月17日は登校しません。
ご希望はございますか?
自習? レポート作成? 不登校日?
...

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