主成分分析

統計解析 02 クラス : 第13回 (07/12/07)

　いくつか(p個)の変量の値を情報の損失をできるだけ少なくして、少数変量(m個、m＜p)の総合的指標(主成分)で代表させる方法として主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)がある。いくつかのテストの成績を総合した総合的成績、いろいろな症状を総合した総合的な重症度、種々の財務指標に基づく企業の評価等を求めたいといった場合に用いられる。
　p変量(p次元)の観測値をm個(m次元)の主成分に縮約させるという意味で、次元を減少させる方法ということもでき、多変量データを要約する一つの有力な方法である。

2変量の場合の主成分分析 : 理解を助けるため

定式化 : 配布資料 54ページ～
- 重み(係数) : a1、a2
- 合成変量(線形結合) : z
- よく代表するように、a1 と a2 を決める。
- より広がって測定できる軸に沿うと情報量が多い。
  　　　[参考:立体の測定] ノギス、ノギスの使い方・目盛りの読み方
- 全測定値の分散を最大化する軸を決定する。

身長と体重の総合指標を求めよう : プログラム : les1301.sas

 /* Lesson 13-1 */
 /*    File Name = les1301.sas   07/12/07   */

data gakusei;
  infile 'all07ae.prn'
    firstobs=2;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc plot data=gakusei;                        : 散布図
  plot shintyou*taijyuu;                       : 元の変量のプロット
run;                                           :
proc princomp cov data=gakusei out=outprin;    : 主成分分析(分散共分散行列)
  var shintyou taijyuu;                        : 2変量
run;                                           :
proc print data=outprin(obs=15);               : 結果の出力
run;                                           :
proc plot data=outprin;                        : 散布図
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;              : 主成分得点のプロット
run;                                           :
                                               : 参考までに、
proc sort data=outprin;                        : 説明のためにソートしてみる
  by prin1;                                    : 第一主成分で
run;                                           :
proc print data=outprin;                       : 体重がややが効いていることの確認
run;                                           :

出力結果 : les1301.lst

身長と体重の散布図
各変量の平均、標準偏差、分散共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率 : 解釈に使う
固有ベクトル(係数a1とa2) : 解釈に使う
主成分得点 : 各個人の得点(z)、2つある
第1軸と第2軸の主成分得点の散布図

SAS システム 2 10:30 Monday, July 9, 2007 プロット : SHINTYOU*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 49 オブザベーションが欠損値です．) SHINTYOU | 200 + | | A B A A 180 + A BFCFDEBGA B B A A A | CAHELIVQLHDHEDB BC A | AGAGJJGFCCDEAA AA A A 160 + ADEHDIFDBACB | A ECBEDDA A A | A BAA 140 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 3 10:30 Monday, July 9, 2007 Principal Component Analysis 326 Observations 2 Variables Simple Statistics SHINTYOU TAIJYUU Mean 168.6926380 58.78466258 StD 8.0313352 9.33278478 SAS システム 4 10:30 Monday, July 9, 2007 Principal Component Analysis Covariance Matrix SHINTYOU TAIJYUU SHINTYOU 64.50234563 52.81268674 TAIJYUU 52.81268674 87.10087173 Total Variance = 151.60321737 Eigenvalues of the Covariance Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative PRIN1 129.810 108.016 0.856245 0.85625 PRIN2 21.794 . 0.143755 1.00000 SAS システム 5 10:30 Monday, July 9, 2007 Principal Component Analysis Eigenvectors PRIN1 PRIN2 SHINTYOU 0.628802 0.777565 TAIJYUU 0.777565 -.628802 SAS システム 6 10:30 Monday, July 9, 2007 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . -31.0594 -5.35312 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 -27.6578 -5.91767 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . -26.0627 -5.53564 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 -25.2852 -6.16444 5 F 148.9 . . J 60000 . . . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . -23.1013 -6.64448 7 F 150.0 46.0 86 40000 . -21.6949 -6.49572 8 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 -21.8436 -5.08935 9 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . -17.9558 -8.23336 10 F 151.7 41.5 80 J 35000 . -24.1250 -2.34424 11 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 -28.9905 1.97624 12 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 -22.7700 -3.05418 13 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 -21.9924 -3.68298 14 F 153.0 41.0 . J 125000 No . -23.6963 -1.01901 15 F 153.0 42.0 . G 0 Vodafone 1000 -22.9187 -1.64781 SAS システム 8 10:30 Monday, July 9, 2007 プロット : PRIN2*PRIN1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 49 オブザベーションが欠損値です．) 20 + | | | PRIN2 | A | A | BB DACBBACCAA B | C GBAFCCFHDFFHCBED A A 0 +---------A---BBBBDAFCAJ-CHFGFEHNDACGC-G-AA-----A--------- | A AAAABBACECAADCB C CBCDDBCEE A AA | AAA AA A A B B|BA A A AAB A | A | AA A A | | A A -20 + | A A ---+------------+------------+------------+------------+-- -40 -20 0 20 40 PRIN1 SAS システム 9 10:30 Monday, July 9, 2007 OBS SEX SHINTYOU TAIJYUU KYOUI JITAKU KODUKAI CARRYER TSUUWA PRIN1 PRIN2 1 F 148.9 . . J 60000 . . . 2 F 153.0 . . G 120000 DoCoMo 200 . . 3 F 153.0 . . 50000 5000 . . ≪中略≫ SAS システム 47 10:30 Monday, July 9, 2007 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 312 M 171.0 70 89 J 60000 . 10.1715 -5.25811 313 M 176.0 66 . G 100000 docomo 5500 10.2053 1.14493 314 M 179.9 63 . J 30000 . 10.3249 6.06384 315 M 175.0 67 . J 45000 . 10.3540 -0.26144 316 M 174.0 68 . G 0 9000 10.5028 -1.66781 317 M 173.0 69 . J 60000 au 9000 10.6516 -3.07417 318 M 183.0 61 . J 100000 . 10.7191 9.73190 319 M 172.0 70 90 J 30000 . 10.8003 -4.48054 320 M 172.0 70.0 . J 20000 . 10.8003 -4.4805 321 M 177.0 66.0 87 G 40000 DoCoMo 6000 10.8341 1.9225 322 M 171.0 71.0 . G 160000 . 10.9491 -5.8869 323 M 176.0 67.0 83 G 0 . 10.9828 0.5161 324 M 181.0 63.0 . J 0 au 4000 11.0166 6.9192 325 M 175.0 68.0 80 150000 au 15000 11.1316 -0.8902 326 M 175.0 68.0 . J 0 DoCoMo 20000 11.1316 -0.8902 327 M 180.0 64.0 90 J 35000 . 11.1654 5.5128 328 M 180.0 64.0 90 G 60000 au 10000 11.1654 5.5128 329 M 179.0 65.0 . J 0 . 11.3141 4.1064 330 M 168.0 74.0 . G 120000 DDIp 15000 11.3954 -10.1060 331 M 178.0 66.0 95 J 30000 au 3000 11.4629 2.7001 332 M 177.0 67.0 . 4000 DoCoMo 8000 11.6116 1.2937 333 M 173.8 69.6 90 J 30000 DoCoMo 13000 11.6212 -2.8294 334 M 180.0 65.0 88 J 30000 . 11.9429 4.8840 335 M 180.0 65.0 . G 100000 . 11.9429 4.8840 336 M 179.0 66 . 30000 . 12.0917 3.4776 337 M 168.0 75 . G 150000 . 12.1729 -10.7348 338 M 173.0 71 100 G 0 . 12.2067 -4.3318 339 M 178.0 67 . J 0 . 12.2405 2.0713 340 M 172.0 72 89 G 150000 . 12.3555 -5.7381 341 M 172.0 72 . G 60000 au 3500 12.3555 -5.7381 342 M 177.0 68 . G 80000 . 12.3892 0.6649 343 M 182.0 64 . G 0 . 12.4230 7.0679 344 M 165.0 78.0 . G 0 2098 12.6192 -14.9539 345 M 170.0 74.0 90 J 0 . 12.6530 -8.5509 346 M 175.0 70.0 95 G 50000 8000 12.6867 -2.1478 347 M 178.0 68.0 . J 100000 DoCoMo 4000 13.0180 1.4425 348 M 184.0 65.0 . G 140000 au 10000 14.4581 7.9943 349 M 170.0 78.0 . 45000 Vodafon 10000 15.7632 -11.0661 350 M 179.9 70.0 . J 15000 DoCoMo 700 15.7679 1.6622 351 M 175.0 74.0 . J 0 . 15.7970 -4.6631 352 M 180.0 70.0 94 G 70000 au 5000 15.8308 1.73998 353 M 180.0 70.0 . J 40000 au 4000 15.8308 1.73998 354 M 180.0 70.0 . . . 15.8308 1.73998 355 M 180.0 70.0 . J 40000 DoCoMo 6500 15.8308 1.73998 356 M 180.0 70.0 . 5000 3000 15.8308 1.73998 357 M 178.7 71.2 95 0 . 15.9464 -0.02542 358 M 184.0 68.0 85 30000 . 16.7908 6.10784 359 M 173.5 76.5 . G 100000 . 16.7977 -7.40141 360 M 182.0 70.0 90 G 100000 . 17.0884 3.2951 361 M 185.0 68.0 93 J 0 . 17.4196 6.8854 362 M 175.0 77.0 95 G 130000 . 18.1297 -6.5495 363 M 179.1 74.2 . 0 au 4000 18.5306 -1.6008 364 M 175.0 79.0 . J 0 No 0 19.6848 -7.8071 365 M 176.5 78.0 96 J 10000 . 19.8505 -6.0119 366 M 177.0 78.0 . J 40000 . 20.1649 -5.6231 367 M 181.5 74.5 . G 120000 au 3000 20.2730 0.0767 368 M 185.0 72.0 . J 30000 7000 20.5299 4.3702 369 M 178.0 78.0 110 G 50000 . 20.7937 -4.8456 370 M 173.0 84.0 46 G 350000 . 22.3150 -12.5062 371 M 169.3 88.5 94 J 0 . 23.4875 -18.2128 372 M 186.0 82.0 . J 0 . 28.9343 -1.1403 373 M 182.0 90.0 100 J 40000 . 32.6397 -9.2809 374 M 178.0 95.0 . 1000 No . 34.0123 -15.5352 375 M 178.0 100.0 112 G 60000 . 37.9001 -18.6792

解釈方法
- 寄与率 : その軸がどの程度説明力を持っているか : 第1軸だけで十分(85.6%)。第2軸に含まれる説明力は小さい(14.4%)。
- 固有ベクトル : その軸の特徴を示している : 身長と体重の重みはほぼ同等だが、体重がやや大きめに効いている(第1軸)
- 主成分得点と散布図 : 各個人がどこに付置されているか
- 第1軸 : 全体的な体格の指標。身長と体重を足したような指標。

3変量以上の主成分分析

定式化 : 資料 71ページ～
- 2変量の拡張
- 合成変量(線形結合) : z
- 合成変量の分散を最大化する軸を決定する。

身長、体重、胸囲での総合指標を求めてみよう : プログラム : les1302.sas

/* Lesson 13-2 */ /* File Name = les1302.sas 07/12/07 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc princomp cov data=gakusei out=outprin; : 主成分分析(分散共分散行列) var shintyou taijyuu kyoui; : 3変量 run; : proc print data=outprin(obs=15); : 結果の出力 run; : proc plot data=outprin; : 散布図 plot prin2*prin1/vref=0 href=0; : 主成分得点のプロット plot prin3*prin2/vref=0 href=0; : plot prin3*prin1/vref=0 href=0; : run; :

出力結果 : les1302.lst

各変量の平均、標準偏差、共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                              SAS システム                             3
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis
     114 Observations
       3 Variables
                           Simple Statistics

                     SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

       Mean       167.3517544       58.79298246       86.17543860
       StD          8.7227627       10.86282708        8.36262822

                              SAS システム                             4
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis

                           Covariance Matrix

                       SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

     SHINTYOU        76.0865898        69.6653222        23.7439373
     TAIJYUU         69.6653222       118.0010123        43.5906226
     KYOUI           23.7439373        43.5906226        69.9335507

                              SAS システム                             5
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis

                     Total Variance = 264.02115277

                  Eigenvalues of the Covariance Matrix

            Eigenvalue      Difference      Proportion      Cumulative

 PRIN1         189.966         138.636        0.719512         0.71951
 PRIN2          51.330          28.606        0.194417         0.91393
 PRIN3          22.724            .           0.086070         1.00000

                              SAS システム                             6
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis

                              Eigenvectors

                            PRIN1         PRIN2         PRIN3

           SHINTYOU      0.539085      -.407903      0.736887
           TAIJYUU       0.751825      -.161336      -.639320
           KYOUI         0.379667      0.898658      0.219698

                              SAS システム                             7
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
          S
          H     T            K C
          I     A     J      O A          T
          N     I   K I      D R          S      P       P        P
          T     J   Y T      U R          U      R       R        R
   O  S   Y     Y   O A      K Y          U      I       I        I
   B  E   O     U   U K      A E          W      N       N        N
   S  X   U     U   I U      I R          A      1       2        3

    1 F 145.0 38.0  . J  10000             .    .       .       .     
    2 F 146.7 41.0 85 J  10000 Vodafone 6000 -24.9565 10.2382 -4.10085
    3 F 148.0 42.0  . J  50000             .    .       .       .     
    4 F 148.0 43.0 80 J  50000 DoCoMo   4000 -24.6504  4.8920 -5.52002
    5 F 148.9   .   . J  60000             .    .       .       .     
    6 F 149.0 45.0  . G  60000             .    .       .       .     
    7 F 150.0 46.0 86    40000             . -19.0388  8.9841 -4.64602
    8 F 151.0 45.0  . J  20000 docomo   5000    .       .       .     
    9 F 151.0 50.0  . G  60000 J-PHONE     .    .       .       .     
   10 F 151.7 41.5 80 J  35000             . -23.7835  3.6248 -1.83456
   11 F 152.0 35.0 77 J  60000 DoCoMo   2000 -29.6477  1.8551  1.88299
   12 F 152.0 43.0  . J  20000 au       3500    .       .       .     
   13 F 152.0 44.0  .    45000 DoCoMo   4000    .       .       .     
   14 F 153.0 41.0  . J 125000 No          .    .       .       .     
   15 F 153.0 42.0  . G      0 Vodafone 1000    .       .       .     

                              SAS システム                             9
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
        プロット : PRIN2*PRIN1.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 261 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN2 |                          |
   20 +                          |
      |           A              |  A   A          A         A
      |           AA AAB BDA   D | A AC    A
    0 +--------A----A-ABCDAED-DAAADAEDABDCBAC-AA-A-----A----------------
      |              A A A    A  A C BAAB A A
      |                     A A  | A AA
  -20 +                          |
      |                 A        |
      |                          |
  -40 +                          |   A
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -40         -20          0          20          40          60
                                     PRIN1

                              SAS システム                            10
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
        プロット : PRIN3*PRIN2.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 261 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN3 |                                             |
   10 +                                     A  A  A |
      |                                  AA A  AB B |AA
      |                                     AA  C BCFECA AA
    0 +-------------------------------A----B-A--AA-BEDEDCBDA-----B------
      |                     A                 A  ACBAAEBBA ABA   A
      |                                      A A    AA  B
  -10 +                                            A|      A
      |                                             |          A
      |                                             |A
  -20 +       A                                     |
      -+--------+--------+--------+--------+--------+--------+--------+-
      -50      -40      -30      -20      -10       0       10       20
                                     PRIN2

                              SAS システム                            11
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
        プロット : PRIN3*PRIN1.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 261 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN3 |                          |
   10 +                          | A  A     A
      |                          |AB B  C B
      |        A     A  AC BB B  |ABBCBAA   C
    0 +---------------ACABEBB-BCAABAABBAAB-B-------A--------------------
      |           AAA ABBA BA A  A  CAAABA    AA
      |           A  A        AA |        A            A
  -10 +                  A     A |
      |                          |                           A
      |                          |               A
  -20 +                          |   A
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -40         -20          0          20          40          60
                                     PRIN1

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(91.4%)。
- 第1軸 : 全体的な体格の因子。特に体重が効いている。
- 第2軸 : 太さの因子(?)。胸囲が正で身長が負。
- 第3軸 : 華奢さの因子(?)。無視しても良い軸であるが。(8.6%)。

相関行列を使う理由

変量によって測定単位が異なる
使う単位によって解析結果が異なる
分散の影響を受ける
各変量を標準化して用いる : 相関行列 <===> 分散共分散行列

相関行列を用いて体格の総合指標を求めてみよう : プログラム : les1303.sas

 /* Lesson 13-3 */
 /*    File Name = les1303.sas   07/12/07   */

data gakusei;
  infile 'all07ae.prn'
    firstobs=2;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);

run;                                          :
proc princomp data=gakusei out=outprin;       : 相関係数を使って
  var shintyou taijyuu kyoui;                 :
run;                                          :
proc print data=outprin(obs=15);
run;
proc plot data=outprin;
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin2/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin1/vref=0 href=0;
run;

出力結果 : les1303.lst

各変量の平均、標準偏差、相関行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                              SAS システム                             3
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis
     114 Observations
       3 Variables
                           Simple Statistics

                     SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

       Mean       167.3517544       58.79298246       86.17543860
       StD          8.7227627       10.86282708        8.36262822

                              SAS システム                             4
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis

                           Correlation Matrix

                         SHINTYOU       TAIJYUU         KYOUI

           SHINTYOU        1.0000        0.7352        0.3255
           TAIJYUU         0.7352        1.0000        0.4799
           KYOUI           0.3255        0.4799        1.0000

                              SAS システム                             5
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis

                 Eigenvalues of the Correlation Matrix

            Eigenvalue      Difference      Proportion      Cumulative

 PRIN1         2.04697         1.33665        0.682322         0.68232
 PRIN2         0.71032         0.46760        0.236772         0.91909
 PRIN3         0.24272          .             0.080906         1.00000

                              SAS システム                             6
                                              10:30 Monday, July 9, 2007
                      Principal Component Analysis

                              Eigenvectors

                            PRIN1         PRIN2         PRIN3

           SHINTYOU      0.599200      -.483881      0.637823
           TAIJYUU       0.640769      -.187770      -.744418
           KYOUI         0.479974      0.854752      0.197544

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(91.9%)。
- 第1軸 : 全体的な体格の因子。
- 第2軸 : 太さの因子。
- 分散共分散行列を使ったときよりも第1軸の固有ベクトル同士が近い値になった。しかし、軸の解釈に違いはない。その理由はこの例では 3変量のスケールや分散にそれほどの違いがないためと想像される。
- 分散共分散行列と相関行列を使ったときの違いを見てみたければ、 shintyou のみを mm 単位で測定したと考えて、 100倍したものをデータとして両者の出力を比較してみよ。
  プログラム : les1304.sas 、出力結果 : les1304.lst

主成分の数の決定基準 : 配布資料 80ページ
明確に決まっているわけではないが、以下のような基準が一般的に用いられている。また、結果の解釈の都合上、多少増減させることもある。
- 累積寄与率がある程度(例えば80%以上)以上大きくなること
- 相関行列を用いている場合、固有値が 1以上
- 固有値のギャップがある程度以上大きいこと
- ...
いろいろなデータを主成分分析に適用して、解釈してみよう
[演習1] 小遣いまでの 4変量のデータでは?
[演習2] 自分の収集したデータでは?
[注意] データによっては解釈が困難なことも有り得る。
また、自分の思い付かない結果を含んでいることもある。
[参考] 「J:\コンピュータによる統計解析02(林篤裕)\」に以下のデータを置いておく。
1. seiseki.dat
  
  中学2年生の成績データ。23名x5科目。国語、社会、数学、理科、英語。
  配布資料に掲載され、例題に使われていたデータ。
2. food.dat
  
  100 種類の食品の嗜好度データ。100食品x10グループ。
3. syumi.dat
  
  趣味に関するアンケート調査データ。30種類x6グループ。
[予告] 最終レポート
半年を通して学んできた SAS の使い方、および統計手法を、自分が興味を持ったデータに適用してみて、興味深い知見を得る体験をしてもらう。
1. 対象データ :
  - 自分で収集したデータ。
  - 一つである必要はない。複数でも良い。
  - 前回用いたものと異なっていても可。
2. 作業内容 :
  1. SAS を使って解析し、興味深い知見を引き出そう。
  2. 以下の点に注意しながらレポートを作成しよう。
  3. 利用するデータ解析手法については、特に制限や指定をしないが、「多変量解析の手法」を使うとより高度なデータ構造が把握できることがある。
  4. 前回のレポートの反省点を踏まえて作成すること。
  5. 興味を持った点や得られた知見に対する考察は人によって個々異なるものであるので、他人と相談することなく自分の力で解析しレポートを作成すること。
3. レポート : 以下に挙げるような項目を含めて作成すること。
  - 所属学部名、学籍番号、氏名
  - データ内容の説明
  - どのような点に興味を持ったか
  - 自分の解析目的
  - 何を知りたいためにどのような手法を使ったのか
  - 得られた知見と考察
  - その他、気付いたこと
  - 講義全体を通しての感想 : 今後の参考にしたいので
4. 提出期限 :
  2007年07月31日(火) 16:10まで??
  
  注意 :
  
  紙で提出する場合は、事務所の受付終了時刻に注意すること。提出日は事務室の受領印で判断する。
  電子メールで提出する場合に、添付ファイルは使わないこと。また、提出日時はメールヘッダーから判断する。受領確認メールを必ず返すのでこれを受け取って提出完了となる。
  
  レポートを受領した者の学籍番号は、講義の連絡ページに掲載するので、確認すること。ただし、2回とも提出したからと言って単位が認定されるわけではない点には注意されたい。
次回は、... : 07月19日 14:45
- 因子分析
- ...
次々回は、... : 07月26日 14:45
- 自習? 質問受付? ???

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