平均値の比較、検定

統計解析 02 クラス : 第10回 (06/21/07)

　今回は、単変量の集計としてよく利用される平均値の検定方法について紹介する。仮定条件や判断基準等、一見複雑に見える論理展開なので、混乱しないように理解してほしい。

平均値の比較 : 2つのグループの「平均値」に統計的に差があると言えるのか?
- Aクラスと Bクラスで試験の成績に差があると言えるのか?
- 薬を投与する/しないで成分(血糖値等)に差があると言えるのか?
- 身長(や体重や胸囲や小遣い額)は性別によって差があると言えるのか?
- 小遣い額は自宅生と下宿生で差があると言えるのか?
- ...
- 各分布が正規分布に従っているかどうかによって方法が異なる
  - パラメトリック検定(正規性を仮定) : t検定 (Student のt検定)、Welch の検定
  - ノンパラメトリック検定(正規性を仮定せず) : Wilcoxon検定
- パラメトリック検定では、
  両群の分散(標準偏差)が等しいと見なせるかによって方法が異なる : F検定
  - 等分散 : t検定 (Student のt検定) : Equal
  - 不等分散 : Welch の検定 : Unequal
- 判断基準(検定基準)
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(「有意」と言う)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
- 仮定(帰無仮説)に対して
  - 「両群の分散は等しい」と仮定した時 : 「有意」に等しい/等しくないを判定
  - 「両群の平均に差はない」と仮定した時 : 「有意」に差がある/ないを判定
- 論理展開の理解 : 出力結果の見方だけでなく、どうしてそのように考えるかを含めて理解してほしい。

正規性の確認
各分布を正規分布と見て良いかは、第5回の第1節で説明した「proc univariate」の「Normal Probability Plot」で判断する。「plot オプション」を忘れないように。

プログラム : les1001.sas
/* Lesson 10-1 */ /* File Name = les1001.sas 06/21/07 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; : 性別不明は除外する proc print data=gakusei(obs=5); run; proc sort data=gakusei; by sex; run; proc univariate data=gakusei plot; var shintyou taijyuu kyoui kodukai; by sex; run;

出力結果 : les1001.lst
SAS システム 8 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=SHINTYOU Normal Probability Plot 172.5+ +*++* | *******+*+** | **********++ | *********+ | ********+ 147.5+*++*+*+** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 15 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=TAIJYUU Normal Probability Plot 62.5+ *+ | *****+*+*++ | **********+* | ***********+ | *+***+****++ 37.5++*++*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 22 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KYOUI Normal Probability Plot 92.5+ ++++*+++ | **********+*+*+++* 82.5+ ********+**+*++++ | ++*++**+*++++ 72.5++++*+ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 29 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=F --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 325000+ * | | * 175000+ * ** +++ | ******+++++ | +********** 25000+* * ** ******************* +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 36 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=SHINTYOU Normal Probability Plot 187.5+ *+* | *********++ | ********++ 172.5+ ************ | **********+ | *********+ 157.5+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 43 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=TAIJYUU Normal Probability Plot 105+ * | * * | ***+++ 75+ **********+++ | *************** | *****************+ 45+*++*++++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 50 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KYOUI Normal Probability Plot 115+ * +*+ | +***+*++++ | ***********+* | ************++ | *+***+++++ |+++++++ | * 45+ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2 SAS システム 57 10:45 Thursday, June 21, 2007 -------------------------------- SEX=M --------------------------------- Univariate Procedure Variable=KODUKAI Normal Probability Plot 375000+ * | * | | * | ***** ***+++ | ******+++++ | ++******+ 25000+* *************************** +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

解釈
- 基準線にどの程度乗っているかで判断する
- 正規分布と言っても良さそう : 身長(男, 女)、体重(女)
- 正規分布から若干離れてそう : 体重(男)、胸囲(男、女)
- 正規分布とは全く言えなさそう : 小遣い額(男, 女)
- 比較する両群ともが正規分布の場合は、パラメトリック検定が使える。<=== 身長
- 比較する両群の少なくとも片方が正規分布でない場合は、ノンパラメトリック検定を使う。<=== 体重、胸囲、小遣い額

パラメトリック検定 : t 検定、Welch の検定

個々の分布が正規分布であることを仮定している。
両群の分散が等しい(等分散)かどうか依って、検定方法を使い分ける。

プログラム : les1002.sas
/* Lesson 10-2 */ /* File Name = les1002.sas 06/21/07 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc ttest data=gakusei; : t検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var shintyou taijyuu kyoui kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les1002.lst
SAS システム 2 10:45 Thursday, June 21, 2007 TTEST PROCEDURE Variable: SHINTYOU SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 117 159.09145299 5.34921155 0.49453478 M 242 172.18760331 5.39094169 0.34654286 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -21.6871 231.1 0.0001 Equal -21.6283 357.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 1.02 DF = (241,116) Prob>F' = 0.9376 SAS システム 3 10:45 Thursday, June 21, 2007 TTEST PROCEDURE Variable: TAIJYUU SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 83 48.69879518 4.72299755 0.51841633 M 242 62.23884298 7.92773766 0.50961428 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -18.6257 240.6 0.0001 Equal -14.6829 323.0 0.0000 For H0: Variances are equal, F' = 2.82 DF = (241,82) Prob>F' = 0.0000 SAS システム 4 10:45 Thursday, June 21, 2007 TTEST PROCEDURE Variable: KYOUI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 43 83.00000000 3.90360029 0.59529346 M 71 88.09859155 9.68526853 1.14942990 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -3.9389 100.5 0.0002 Equal -3.2894 112.0 0.0013 For H0: Variances are equal, F' = 6.16 DF = (70,42) Prob>F' = 0.0000 SAS システム 5 10:45 Thursday, June 21, 2007 TTEST PROCEDURE Variable: KODUKAI SEX N Mean Std Dev Std Error ----------------------------------------------------------------------- F 114 48403.50877193 44706.80677090 4187.17609027 M 232 48637.93103448 52490.92216742 3446.19787366 Variances T DF Prob>|T| --------------------------------------- Unequal -0.0432 259.7 0.9656 Equal -0.0409 344.0 0.9674 For H0: Variances are equal, F' = 1.38 DF = (231,113) Prob>F' = 0.0553

結果の見方 : 二段階、このデータでは?
- 等分散と言えるか? : Prob> F'
  - 身長(93.8%)と小遣い(5.5%)は等分散であると言える ===> t検定 : Equal の項
  - 体重(0.00%)と胸囲(0.00%)は等分散であると言えない ===> Welchの検定 : Unequal の項
- 平均に差があると言えるか? : Prob>|T|
  - 身長(0.00%, Equal の項)や体重(0.01%, Unequal の項)、胸囲(0.02%, Unequal の項)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(96.7%, Equal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。
  - ただし、体重、胸囲、小遣い額の分布のどちらか一方、または両方が正規分布とは言えないので、身長以外の結論は信憑性に欠ける。よって、体重、胸囲、小遣い額については次節で説明するノンパラメトリック検定の結果を待つ必要がある。
- 検定基準
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 有意(分散が等しいとは言えない、平均に差がある)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
[演習1] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

ノンパラメトリック検定 : Wilcoxon 検定

各分布が正規分布に従っている必要はない
分布が不明なときはノンパラメトリック手法を使う
少数例、医学分野、血圧、...

プログラム : les1003.sas

/* Lesson 10-3 */ /* File Name = les1003.sas 06/21/07 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc npar1way data=gakusei wilcoxon; : wilcoxon 検定 class sex; : 分類したい特性変数の指定 var shintyou taijyuu kyoui kodukai; : 比較したい変量名 run; :

出力結果 : les1003.lst
SAS システム 2 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable SHINTYOU Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 117 8015.5000 21060.0 921.035482 68.508547 M 242 56604.5000 43560.0 921.035482 233.902893 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 3 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 8015.50 Z = -14.1623 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 200.59 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 4 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable TAIJYUU Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 83 4424.0 13529.0 738.002845 53.301205 M 242 48551.0 39446.0 738.002845 200.623967 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 5 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 4424.00 Z = -12.3367 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 152.21 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 6 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KYOUI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 43 1648.50000 2472.50000 170.162136 38.3372093 M 71 4906.50000 4082.50000 170.162136 69.1056338 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 7 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 1648.50 Z = -4.83950 Prob > |Z| = 0.0001 T-Test Approx. Significance = 0.0001 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 23.449 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.0001 SAS システム 8 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KODUKAI Classified by Variable SEX Sum of Expected Std Dev Mean SEX N Scores Under H0 Under H0 Score F 114 20755.5000 19779.0 870.131155 182.065789 M 232 39275.5000 40252.0 870.131155 169.290948 Average Scores Were Used for Ties Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation) (with Continuity Correction of .5) SAS システム 9 10:45 Thursday, June 21, 2007 N P A R 1 W A Y P R O C E D U R E S = 20755.5 Z = 1.12167 Prob > |Z| = 0.2620 T-Test Approx. Significance = 0.2628 Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation) CHISQ = 1.2594 DF = 1 Prob > CHISQ = 0.2618

結果の見方 : Prob>|Z|
- この手法では身長/体重/胸囲/小遣いの検定結果はパラメトリック手法と同じであった。
- 身長(0.01%)や体重(0.01%)、胸囲(0.01%)は性別によって平均に差があると言える。
- 小遣い(26.2%)は性別によって平均に差があるとは言えない。
[演習2] 上記の結果を、自宅生/下宿生間の差として検定した場合、身長、体重、胸囲、小遣い額に差があると言えるか各自で結論づけてみよ

対応のある 2群の検定

薬の投与前後での測定、運動の前後での測定、処置の前後、...
proc univariate の中で表示されている : 第5回の第1節
詳しくは配布資料を参照のこと

プログラム : les1004.sas

/* Lesson 10-4 */ /* File Name = les1004.sas 06/21/07 */ data pair; : input x y @@; : @@ は 1行に複数のデータがあることを示す dif=x-y; : 差(difference)を計算する cards; : データをプログラム内に記述する 3.51 3.39 3.07 3.39 3.29 3.20 3.03 3.11 : x1,y1, x2,y2, x3,y3, x4,y4, 3.38 3.17 3.30 3.09 3.15 3.17 3.25 3.09 : x5,y5, x6,y6, x7,y7, x8,y8 ; : : proc print data=pair; : run; : proc univariate data=pair plot; : var dif; : 差について run; :

出力結果 : les1004.lst
SAS システム 1 10:45 Thursday, June 21, 2007 OBS X Y DIF 1 3.51 3.39 0.12 2 3.07 3.39 -0.32 3 3.29 3.20 0.09 4 3.03 3.11 -0.08 5 3.38 3.17 0.21 6 3.30 3.09 0.21 7 3.15 3.17 -0.02 8 3.25 3.09 0.16 SAS システム 2 10:45 Thursday, June 21, 2007 Univariate Procedure Variable=DIF Moments N 8 Sum Wgts 8 Mean 0.04625 Sum 0.37 Std Dev 0.180629 Variance 0.032627 Skewness -1.31523 Kurtosis 1.511099 USS 0.2455 CSS 0.228388 CV 390.5489 Std Mean 0.063862 T:Mean=0 0.724218 Pr>|T| 0.4924 Num ^= 0 8 Num > 0 5 M(Sign) 1 Pr>=|M| 0.7266 Sgn Rank 7 Pr>=|S| 0.3594 SAS システム 5 10:45 Thursday, June 21, 2007 Univariate Procedure Variable=DIF Stem Leaf # Boxplot 2 11 2 | 1 26 2 +-----+ 0 9 1 | + | -0 82 2 +-----+ -1 | -2 | -3 2 1 | ----+----+----+----+ Multiply Stem.Leaf by 10**-1 SAS システム 6 10:45 Thursday, June 21, 2007 Univariate Procedure Variable=DIF Normal Probability Plot 0.25+ *++++* | *++*+++ | *++++ -0.05+ *+++*++ | +++++ | ++++++ -0.35+ +++++ * +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方 :
- t 統計量を適用する場合は、差の分布が正規分布に従っていることを仮定している
- 差の分布が正規分布をしているかを確認するには : Normal Probability Plot
- T:Mean=0 : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための t 統計量
- Pr>=|T| : t 統計量の両側有意確率
  - t 統計量を適用する場合は、差の分布が正規分布に従っていることを仮定している
  - 差の分布が正規分布をしているかを確認するには : Normal Probability Plot
- M(Sign) : 母集団の中央値(メディアン)がゼロであるという仮説を検定するための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|M| : 母集団の中央値(メディアン)がゼロであるという仮説の下で、その符合統計量よりも大きい絶対値が得られる確率
- Sgn Rank : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|S| : 符合付き順位和検定統計量のための近似的有意確率
- この例では、少数サンプルなの正規分布かどうかの判断はできないと考えた方が良いであろう。
- どの統計指標を用いても、差がゼロであることが結構な確率で起りそう : 49.2%(Pr>=|T| の項), 72.7%(Pr>=|M| の項), 35.9%(Pr>=|S| の項)。
  つまり、差があるとは言えない。薬が効いているとは断定できない。

次回は、... : 06月28日 14:45
- 二変量の関係
- 多変量解析 : 単回帰分析、重回帰分析、...
- ...
[おまけ] 単変量、二変量を視覚的に捉えると? by Mathematica
1. $1 dim. Normal Distribution$ [式(a)] 1次元正規分布 N(0,1)
2. $2 dim. Normal Distribution$ [式(b)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.0)
3. $2 dim. Normal Distribution$ [式(c)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)
4. $2 dim. Normal Distribution$ [式(d)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)、y=1 で切り出し
5. $2 dim. Normal Distribution$ [式(e)] 2次元正規分布 N({0,0},{1,1}, ρ=0.7)、x+y=2 で切り出し

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