主成分分析

統計解析 02 クラス : 第12回 (07/08/04)

　いくつか(p個)の変量の値を情報の損失をできるだけ少なくして、少数変量(m個、m＜p)の総合的指標(主成分)で代表させる方法として主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)がある。いくつかのテストの成績を総合した総合的成績、いろいろな症状を総合した総合的な重症度、種々の財務指標に基づく企業の評価等を求めたいといった場合に用いられる。
　p変量(p次元)の観測値をm個(m次元)の主成分に縮約させるという意味で、次元を減少させる方法と言うこともでき、多変量データを要約する一つの有力な方法である。

2変量の場合の主成分分析 : 理解を助けるため

定式化 : 配布資料 54ページ～
- 重み(係数) : a1、a2
- 合成変量(線形結合) : z
- よく代表するように、a1 と a2 を決める。
- より広がって測定できる軸に沿うと情報量が多い。
- 全測定値の分散を最大化する軸を決定する。

身長と体重の総合指標を求めよう : プログラム : les1201.sas

 /* Lesson 12-1 */
 /*    File Name = les1201.sas   07/08/04   */

data gakusei;
  infile 'all04a.prn'
    firstobs=2;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc plot data=gakusei;                        : 散布図
  plot shintyou*taijyuu;                       : 元の変量のプロット
run;                                           :
proc princomp cov data=gakusei out=outprin;    : 主成分分析(分散共分散行列)
  var shintyou taijyuu;                        : 2変量
run;                                           :
proc print data=outprin(obs=15);               : 結果の出力
run;                                           :
proc plot data=outprin;                        : 散布図
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;              : 主成分得点のプロット
run;                                           :
proc sort data=outprin;                        : 説明のためにソートしてみる
  by prin1;                                    : 第一主成分で
run;                                           :
proc print data=outprin;                       : 体重がややが効いていることの確認
run;                                           :

出力結果 : les1201.lst

身長と体重の散布図
各変量の平均、標準偏差、分散共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率 : 解釈に使う
固有ベクトル(係数a1とa2) : 解釈に使う
主成分得点 : 各個人の得点(z)、2つある
第1軸と第2軸の主成分得点の散布図

SAS システム 2 23:20 Thursday, July 1, 2004 プロット : SHINTYOU*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 42 オブザベーションが欠損値です．) SHINTYOU | 200 + | | B A 180 + A ADCDDDBEA B B A A | AAEDKHTMGGCEDCB BA | AEAGIFEDCBBEAA AA A A 160 + ADCEBHDDAABB | A EB DCDA A A | A AAA 140 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 3 23:20 Thursday, July 1, 2004 Principal Component Analysis 254 Observations 2 Variables Simple Statistics SHINTYOU TAIJYUU Mean 168.6755906 58.73031496 StD 8.0222834 9.22268568 SAS システム 4 23:20 Thursday, July 1, 2004 Principal Component Analysis Covariance Matrix SHINTYOU TAIJYUU SHINTYOU 64.35703028 52.38386543 TAIJYUU 52.38386543 85.05793113 Total Variance = 149.41496141 Eigenvalues of the Covariance Matrix Eigenvalue Difference Proportion Cumulative PRIN1 128.104 106.793 0.857371 0.85737 PRIN2 21.311 . 0.142629 1.00000 SAS システム 5 23:20 Thursday, July 1, 2004 Principal Component Analysis Eigenvectors PRIN1 PRIN2 SHINTYOU 0.634885 0.772606 TAIJYUU 0.772606 -.634885 SAS システム 6 23:20 Thursday, July 1, 2004 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . -31.0477 -5.13053 2 F 148.0 42.0 . J 50000 . -26.0526 -5.35226 3 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 -25.2800 -5.98714 4 F 148.9 . . J 60000 . . . 5 F 149.0 45.0 . G 60000 . -23.0999 -6.48431 6 F 150.0 46.0 86 40000 . -21.6924 -6.34659 7 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . -17.9671 -8.11352 8 F 151.7 41.5 80 J 35000 . -24.0898 -2.17617 SAS システム 8 23:20 Thursday, July 1, 2004 プロット : PRIN2*PRIN1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 42 オブザベーションが欠損値です．) PRIN2 | | 10 + A A BA | AA BB BABBAAACA B | A BC ACAGCCFFCGGFC CD A 0 +-------------BBA-AACBAI-BDBFEEDFCACCBAE--A-----A--------- | AA CABCB ABCA BB DDBADB A A | A AAAA AAA A A ABBAAC A BA AABA -10 + A A | AB A | | | | A -20 + | A A ---+------------+------------+------------+------------+-- -40 -20 0 20 40 PRIN1 SAS システム 9 23:20 Thursday, July 1, 2004 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 1 F 148.9 . . J 60000 . . . 2 F 153.0 . . G 120000 DoCoMo 200 . . 3 F 155.0 . . J 20000 . . . ＜中略＞ SAS システム 43 23:20 Thursday, July 1, 2004 S H T K C I A J O A T N I K I D R S P P T J Y T U R U R R O S Y Y O A K Y U I I B E O U U K A E W N N S X U U I U I R A 1 2 273 M 182.0 64.0 . G 0 . 12.5309 6.9489 274 M 165.0 78.0 . G 0 2098 12.5543 -15.0738 275 M 170.0 74.0 90 J 0 . 12.6383 -8.6713 276 M 178.0 68.0 . J 100000 DoCoMo 4000 13.0817 1.3189 277 M 175.0 74.0 . J 0 . 15.8127 -4.8082 278 M 180.0 70.0 94 G 70000 au 5000 15.8967 1.5944 279 M 180.0 70.0 . J 40000 au 4000 15.8967 1.5944 280 M 180.0 70.0 . . . 15.8967 1.5944 281 M 180.0 70.0 . J 40000 DoCoMo 6500 15.8967 1.5944 282 M 178.7 71.2 95 0 . 15.9985 -0.1719 283 M 173.5 76.5 . G 100000 . 16.7919 -7.5543 284 M 184.0 68.0 85 30000 . 16.8911 5.9545 285 M 182.0 70.0 90 G 100000 . 17.1665 3.1396 286 M 185.0 68.0 93 J 0 . 17.5259 6.7272 287 M 175.0 77.0 95 G 130000 . 18.1305 -6.7129 288 M 179.1 74.2 . 0 au 4000 18.5703 -1.7675 289 M 176.5 78.0 96 J 10000 . 19.8555 -6.1889 290 M 177.0 78.0 . J 40000 . 20.1729 -5.8026 291 M 181.5 74.5 . G 120000 au 3000 20.3258 -0.1037 292 M 178.0 78.0 110 G 50000 . 20.8078 -5.0299 293 M 169.3 88.5 94 J 0 . 23.3967 -18.4179 294 M 186.0 82.0 . J 0 . 28.9773 -1.3886 295 M 182.0 90.0 100 J 40000 . 32.6186 -9.5581 296 M 178.0 100.0 112 G 60000 . 37.8051 -18.9974

解釈方法
- 寄与率 : その軸がどの程度説明力を持っているか : 第1軸だけで十分(85.7%)。第2軸に含まれる説明力は小さい(14.3%)。
- 固有ベクトル : その軸の特徴を示している : 身長と体重の重みはほぼ同等だが、体重がやや大きめに効いている(第1軸)
- 主成分得点と散布図 : 各個人がどこに付置されているか
- 第1軸 : 全体的な体格の指標。身長と体重を足したような指標。

3変量以上の主成分分析

定式化 : 資料 71ページ～
- 2変量の拡張
- 合成変量(線形結合) : z
- 合成変量の分散を最大化する軸を決定する。

身長、体重、胸囲での総合指標を求めてみよう : プログラム : les1202.sas

/* Lesson 12-2 */ /* File Name = les1202.sas 07/08/04 */ data gakusei; infile 'all04a.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc princomp cov data=gakusei out=outprin; : 主成分分析(分散共分散行列) var shintyou taijyuu kyoui; : 3変量 run; : proc print data=outprin(obs=15); : 結果の出力 run; : proc plot data=outprin; : 散布図 plot prin2*prin1/vref=0 href=0; : 主成分得点のプロット plot prin3*prin2/vref=0 href=0; : plot prin3*prin1/vref=0 href=0; : run; :

出力結果 : les1202.lst

各変量の平均、標準偏差、共分散行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図

                              SAS システム                             3
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis
      93 Observations
       3 Variables
                           Simple Statistics

                     SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

       Mean       167.7602151       59.19569892       86.72043011
       StD          8.6631170       10.96744108        7.89794358

                              SAS システム                             4
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis

                           Covariance Matrix

                       SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

     SHINTYOU        75.0495956        67.9609140        27.0767999
     TAIJYUU         67.9609140       120.2847639        58.5074801
     KYOUI           27.0767999        58.5074801        62.3775129

                              SAS システム                             5
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis

                     Total Variance = 257.71187237

                  Eigenvalues of the Covariance Matrix

            Eigenvalue      Difference      Proportion      Cumulative

 PRIN1         198.838         157.733        0.771550         0.77155
 PRIN2          41.104          23.334        0.159497         0.93105
 PRIN3          17.770            .           0.068953         1.00000

                              SAS システム                             6
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis

                              Eigenvectors

                            PRIN1         PRIN2         PRIN3

           SHINTYOU      0.505436      -.687310      0.521669
           TAIJYUU       0.752185      0.054727      -.656675
           KYOUI         0.422790      0.724299      0.544646

                              SAS システム                             7
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
         S
         H     T            K C
         I     A     J      O A          T
         N     I   K I      D R          S       P       P        P
         T     J   Y T      U R          U       R       R        R
  O  S   Y     Y   O A      K Y          U       I       I        I
  B  E   O     U   U K      A E          W       N       N        N
  S  X   U     U   I U      I R          A       1       2        3

   1 F 145.0 38.0  . J  10000              .    .       .       .     
   2 F 148.0 42.0  . J  50000              .    .       .       .     
   3 F 148.0 43.0 80 J  50000 DoCoMo    4000 -25.0110  7.8275 -3.33323
   4 F 148.9   .   . J  60000              .    .       .       .     
   5 F 149.0 45.0  . G  60000              .    .       .       .     
   6 F 150.0 46.0 86    40000              . -19.2069 10.9628 -0.99204
   7 F 151.0 50.0  . G  60000 J-PHONE      .    .       .       .     
   8 F 151.7 41.5 80 J  35000              . -24.2692  5.2023 -0.41804
   9 F 152.0 35.0 77 J  60000 DoCoMo    2000 -30.2751  2.4675  2.37292
  10 F 152.0 43.0  . J  20000 au        3500    .       .       .     
  11 F 153.0 41.0  . J 125000 No           .    .       .       .     
  12 F 153.0 42.0  . G      0 Vodafone  1000    .       .       .     
  13 F 153.0 46.5 87 G  10000              . -16.8917  9.6525  0.78927
  14 F 153.0 50.0  . G  70000 DoCoMo   10000    .       .       .     
  15 F 153.0 55.0 78 J  30000              . -14.3032  3.5990 -9.69428

                              SAS システム                             9
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
        プロット : PRIN2*PRIN1.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 203 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN2 |                          |
   20 +                          |
      |              A         A |  A   A         A          A
      |           B  A BCABA  AA | A AB    A     A
    0 +--------A---A---BABCCBAD--D-BF-ACBB-AAAA--------A----------------
      |             A   A    A   BAAB BAC  AA
      |                     A    |A A    A
  -20 +                A         |
      |                          |
      |                          |
  -40 +                          |
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -40         -20          0          20          40          60
                                     PRIN1

                              SAS システム                            10
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
        プロット : PRIN3*PRIN2.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 203 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN3 |                                      |
   10 +                                      |
      |                       A   A  AB     A| A          A A
      |                     A  A  A AA   AEAE|C AA ACC       A
    0 +--------------------------A-A--B--A--CDB-BB-CAAA--AA-------------
      |                           AA     AA CC C  AAA A
      |                     A          B A   | B          A  A
  -10 +                                      |   A
      |           A                          |      A
      |                                      |
  -20 +                                      |
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -30         -20         -10          0          10          20
                                     PRIN2

                              SAS システム                            11
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
        プロット : PRIN3*PRIN1.  凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ...
       (NOTE: 203 オブザベーションが欠損値です．)
PRIN3 |                          |
   10 +                          |
      |                  A       AA   A C   A     A
      |        A     A  AACAA C  A CE BAAA CA
    0 +-----------A--A-CBAACAAA--CA-DAAA--------------------------------
      |           AA   AA A  A A | AA ABBA   AA
      |             A       A AA A       A             A     A
  -10 +                 A        |
      |                A         |               A
      |                          |
  -20 +                          |
      ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+--
        -40         -20          0          20          40          60
                                     PRIN1

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(93.1%)。
- 第1軸 : 全体的な体格の因子。特に体重が効いている。
- 第2軸 : 太さの因子(?)。胸囲が正で身長が負。
- 第3軸 : 華奢さの因子(?)。無視しても良い軸であるが。(6.9%)。

相関行列を使う理由

変量によって測定単位が異なる
使う単位によって解析結果が異なる
分散の影響を受ける
各変量を標準化して用いる : 相関行列 <===> 分散共分散行列

相関行列を用いて体格の総合指標を求めてみよう : プログラム : les1203.sas

 /* Lesson 12-3 */
 /*    File Name = les1203.sas   07/08/04   */

data gakusei;
  infile 'all04a.prn'
    firstobs=2;
  input sex $ shintyou taijyuu kyoui
        jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa;

proc print data=gakusei(obs=10);

run;                                          :
proc princomp data=gakusei out=outprin;       : 相関係数を使って
  var shintyou taijyuu kyoui;                 :
run;                                          :
proc print data=outprin(obs=15);
run;
proc plot data=outprin;
  plot prin2*prin1/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin2/vref=0 href=0;
  plot prin3*prin1/vref=0 href=0;
run;

出力結果 : les1203.lst

各変量の平均、標準偏差、相関行列
固有値、比率(寄与率)、累積寄与率
固有ベクトル
主成分得点
第1軸～第3軸の散布図


                              SAS システム                             3
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis
      93 Observations
       3 Variables
                           Simple Statistics

                     SHINTYOU           TAIJYUU             KYOUI

       Mean       167.7602151       59.19569892       86.72043011
       StD          8.6631170       10.96744108        7.89794358

                              SAS システム                             4
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis

                           Correlation Matrix

                         SHINTYOU       TAIJYUU         KYOUI

           SHINTYOU        1.0000        0.7153        0.3957
           TAIJYUU         0.7153        1.0000        0.6754
           KYOUI           0.3957        0.6754        1.0000

                              SAS システム                             5
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis

                 Eigenvalues of the Correlation Matrix

            Eigenvalue      Difference      Proportion      Cumulative

 PRIN1         2.20118         1.59596        0.733725         0.73373
 PRIN2         0.60522         0.41161        0.201739         0.93546
 PRIN3         0.19361          .             0.064535         1.00000

                              SAS システム                             6
                                            23:20 Thursday, July 1, 2004
                      Principal Component Analysis

                              Eigenvectors

                            PRIN1         PRIN2         PRIN3

           SHINTYOU      0.554911      -.676206      0.484582
           TAIJYUU       0.633593      -.033949      -.772921
           KYOUI         0.539105      0.735930      0.409601

解釈方法
- 寄与率 : 2軸まで取れば十分のようだ(93.5%)。
- 第1軸 : 全体的な体格の因子。
- 第2軸 : 太さの因子。
- 分散共分散行列を使ったときよりも第1軸の固有ベクトル同士が近い値になった。しかし、軸の解釈に違いはない。その理由はこの例では 3変量のスケールや分散にそれほどの違いがないためと想像される。
- 分散共分散行列と相関行列を使ったときの違いを見てみたければ、 shintyou のみを mm 単位で測定したと考えて、 100倍したものをデータとして両者の出力を比較してみよ。
  プログラム : les1204.sas 、出力結果 : les1204.lst

主成分の数の決定基準 : 配布資料 80ページ
明確に決まっているわけではないが、以下のような基準が一般的に用いられている。また、結果の解釈の都合上、多少増減させることもある。
- 累積寄与率がある程度(例えば80%以上)以上大きくなること
- 相関行列を用いている場合、固有値が 1以上
- 固有値のギャップがある程度以上大きいこと
- ...

いろいろなデータを主成分分析に適用して、解釈してみよう
[演習1] 小遣いまでの 4変量のデータでは?
[演習2] 自分の収集したデータでは?

[注意] データによっては解釈が困難なことも有り得る。

また、自分の思い付かない結果を含んでいることもある。

[参考] 「J:\コンピュータによる統計解析02(林篤裕)\」に以下のデータを置いておく。

seiseki.dat

中学2年生の成績データ。23名x5科目。国語、社会、数学、理科、英語。
配布資料に掲載され、例題に使われていたデータ。
food.dat

100 種類の食品の嗜好度データ。100食品x10グループ。
syumi.dat

趣味に関するアンケート調査データ。30種類x6グループ。

次回は : 07月15日 14:45

因子分析
データを転送しておくこと
...

[おまけ1] if 文 : ある条件に合致した場合に、特定の処理を実行する。
[例1] 目的のサンプルだけを抽出する : 条件を書き並べる
[例2] 変量の値を割り当てなおす : 新しい値を右辺に書く

data seito04; infile 'seito.prn'; input id $ sex $ kesseki $ koku $ suu1 $ suu2 $ tireki $ koumin $ rika $; if sex^='M' then delete; /* male only */ if kesseki^='0' then delete; /* syusseki-sya only */ if tireki="世界史-0" then tireki="世界史"; if tireki="世界史-2" then tireki="世界史"; if tireki="日本史-2" then tireki="日本史"; if tireki="日本史-3" then tireki="日本史"; ...

[例3] 複数の処理をさせたい場合 : do ～ end で囲む

if tireki="世界史-0" then do; tireki="世界史"; koumin=.; end; ...

[比較演算子]

= : 等しい

^= : 等しくない

> : より大きい

< : より小さい

>= : 以上

<= : 以下

[論理演算子]

^ : 否定(NOT)

& : 論理和(AND)

| : 論理積(OR)

[おまけ2] 1レコード(1行)のレコード長が長い場合 : 一行の長さの指定、例えば 230バイトだと

data math; infile 'foomath.dat' lrecl=230;

[おまけ3] 行末がそろってないデータの読み込み : 一行の長さを指定し、揃ってないことを明示

data math; infile 'foomath.dat' lrecl=230 truncover;

[おまけ4] 固定長データの読み込み : カラム位置の指定

input kamoku $ 2 kesseki $ 3 k_code $ 10-11 t_score 12-14 s_scor01 103-104 s_scor02 105-106 s_scor03 107-108 s_scor04 109-110 ;

[おまけ5] データファイルの先頭を読み飛ばす : コメント等が挿入されているような場合。先頭 3行を読み飛ばす場合は

data math; infile 'foo.dat' firstobs=4;

[おまけ6] データの生成 : 乱数で(正規乱数) : 種(seed)の指定。種は任意の数値(普通は整数)。

data rei01; do i=1 to 200; x=rannor(12345); output; end; run;

[参考] : 乱数を生成する関数

[おまけ7 : 例4] 乱数で疑似データを 200個生成し、発生順、および昇順に並べて、それぞれをファイルに保存する

91番から 110番(中央あたり)のデータの表示
91番から 110番(中央あたり)のデータについて平均を計算する
データのアスキー保存 : フォーマット形式の指定に注意
データの並べ替え

プログラム : les1205.sas

/* Lesson 12-5 */ /* File Name = les1205.sas 07/08/04 */ options linesize=72; /* pagesize=20; */ : 出力サイズの指定 data rei01; : データセット名を rei01 とする do i=1 to 200; : 200回の繰り返し x=rannor(12345); : 正規乱数を発生させる output; : データセットに追加する end; : 繰り返しの終端 run; : proc print data=rei01(obs=10); : 先頭 10ケースの表示 run; : proc means data=rei01; : 全データに対する平均の計算 run; : proc print data=rei01(firstobs=91 obs=110); : 91番から 110番のデータの表示 run; : proc means data=rei01(firstobs=91 obs=110); : 91番から 110番のデータについての平均 run; : data _null_; : データセット名は付けない set rei01; : 元となるデータセット名 file "unsorted.dat"; : 出力ファイル名 put i 5. x 15.8; : 変量 i は小数点以上 5桁で run; : 変量 x は小数点以上 15桁、以下 8桁で proc sort data=rei01; : 並べ替え by x; : 変量 x について run; : proc print data=rei01(obs=10); run; proc print data=rei01(firstobs=91 obs=110); run; proc means data=rei01(firstobs=91 obs=110); run; data _null_; set rei01; file "sorted.dat"; put i 5. x 15.8; run;

出力結果 : les1205.lst、 unsorted.dat、 sorted.dat
- 並べる前後での数値列を比較せよ。
- 乱数の種類を取り替えて計算させてみよ。

[おまけ8 : 例5] 軸ラベルの値を昇順、降順に並べたい

昇順と降順のヒストグラム : 数値(軸ラベル)
昇順と降順の度数分布表 : 数値(軸ラベル)
頻度順の度数分布表 : 頻度

プログラム : les1206.sas

/* Lesson 12-6 */ /* File Name = les1206.sas 07/08/04 */ options linesize=72; /* pagesize=20; */ data rei02; : データセット名を rei02 とする do i=1 to 100; : x=rannor(23456); : 上記とは別の種で乱数を発生させる x10=int(x*10); : 10倍して正数部分だけ利用 output; : end; : run; : title "Default"; : 見出し(タイトル)を付ける : 「無指定」 proc chart data=rei02; : オプションを指定しない場合のヒストグラム hbar x; : 変量 x について run; : title "Ascending order"; : 「昇順」 proc chart data=rei02; : hbar x / midpoints=-3 to 3 by .5; : 変量 x について昇順で。0.5 刻み。 run; : title "Descending order"; : 「降順」 proc chart data=rei02; : hbar x / midpoints=3 to -3 by -.5; : 変量 x について降順で。-0.5 刻み。 run; : title "Default"; : 「無指定」: x10 を昇順に表示 proc freq data=rei02; : オプションを指定しない場合の度数分布表 tables x10; : 変量 x10 について run; : title "Freqency order"; : 「頻度降順」: 頻度の大きいものから proc freq data=rei02 order=freq; : tables x10; : 変量 x10 についての頻度順に表示 run; : proc sort data=rei02; : 並べ替え by decending x10; : x10 について降順に並べる run; : title "Descending order"; : 「数値降順」: x10 を降順に表示 proc freq data=rei02 order=data; : データの出現順で表示させるというオプション tables x10; : run; :

出力結果 : les1206.lst
- どこをキーとした順で表示されているかを把握せよ。
- 乱数の種類を取り替えて計算させてみよ。
- 見出しを付けるには「title」を使う。

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