平均値の比較

統計処理 01 クラス : 第11回(06/28/01)

今回は、単変量の集計としてよく利用される平均値の検定方法について紹介する。

平均値の比較 : 2つのグループの平均値に差があるか?
- 身長(や体重や胸囲)は性別によって差があると言えるか?
- 小遣い額は自宅生と下宿生で差があると言えるか?
- Aクラスと Bクラスで成績に差があるか?
- 薬を投与する/しないで差があるか?
- ...
- 判断基準(検定基準)
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(「有意」と言う)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
- 分布が正規分布に従っているかどうかによって方法が異なる
  - パラメトリック検定 : t検定 (Student のt検定)、Welch の検定
  - ノンパラメトリック検定 : Wilcoxon検定
- 両群の分散が等しいと見なせるかによって方法が異なる : F検定
  - 等分散 : t検定 (Student のt検定) : Equal
  - 不等分散 : Welch の検定 : Unequal
- 「差がない」と仮定(帰無仮説)した時に : 「有意」に差がある/ないを判定

t 検定、Welch の検定 : パラメトリック検定

個々の分布が正規分布であることを仮定している。
両群の分散が等しい(等分散)かどうか依って、検定方法を使い分ける。

プログラム : les1101.sas

 /* Lesson 11-1 */
 /*    File Name = les1101.sas   06/28/01   */

data gakusei;
  infile 'all01.prn';
  input seibetsu $ height weight chest jitaku $ kodukai;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc ttest data=gakusei;               : t検定
  class seibetsu;                      : 分類したい特性変数の指定
  var height weight chest kodukai;     : 比較したい変量名
run;                                   :

出力結果 : les1101.lst


                              SAS システム                             2
                                          13:59 Wednesday, June 20, 2001
                            TTEST PROCEDURE
Variable: HEIGHT                                               

SEIBETSU       N              Mean           Std Dev         Std Error
----------------------------------------------------------------------
F             55      159.42545455        5.52999291        0.74566409
M            141      172.13687943        5.37477456        0.45263767

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal   -14.5724     96.1      0.0001
Equal     -14.7565    194.0      0.0000

For H0: Variances are equal, F' = 1.06    DF = (54,140)   Prob>F' = 0.7755

                              SAS システム                             3
                                          13:59 Wednesday, June 20, 2001
                            TTEST PROCEDURE
Variable: WEIGHT                                               

SEIBETSU       N              Mean           Std Dev         Std Error
----------------------------------------------------------------------
F             34       49.52941176        4.48218895        0.76868906
M            141       62.40921986        7.76023656        0.65352981

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal   -12.7655     87.2      0.0001
Equal      -9.2979    173.0      0.0000

For H0: Variances are equal, F' = 3.00    DF = (140,33)   Prob>F' = 0.0005

                              SAS システム                             4
                                          13:59 Wednesday, June 20, 2001
                            TTEST PROCEDURE
Variable: CHEST                                                

SEIBETSU       N              Mean           Std Dev         Std Error
----------------------------------------------------------------------
F             19       83.63157895        4.31033031        0.98885759
M             53       88.96226415        8.38488169        1.15175208

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal    -3.5116     61.1      0.0008
Equal      -2.6404     70.0      0.0102

For H0: Variances are equal, F' = 3.78    DF = (52,18)   Prob>F' = 0.0031

                              SAS システム                             5
                                          13:59 Wednesday, June 20, 2001
                            TTEST PROCEDURE
Variable: KODUKAI                                              

SEIBETSU       N              Mean           Std Dev         Std Error
----------------------------------------------------------------------
F             51    51441.17647059    56335.83646835     7888.59498237
M            133    52842.10526316    50334.31297039     4364.53845858

Variances        T       DF    Prob>|T|
---------------------------------------
Unequal    -0.1554     82.4      0.8769
Equal      -0.1634    182.0      0.8704

For H0: Variances are equal, F' = 1.25    DF = (50,132)   Prob>F' = 0.3138

結果の見方 : 二段階、このデータでは?
- 等分散と言えるか? : Prob > F'
  - 身長(77.6%)と小遣い(31.4%)は等分散であると言える ===> t検定 : Equal の項
  - 体重(0.1%)と胸囲(0.3%)は等分散であると言えない ===> Welchの検定 : Unequal の項
- 平均に差があると言えるか? : Prob>|T|
  - 身長(0.0%, Equal の項)や体重(0.0%, Unequal の項)、胸囲(0.0%, Unequal の項)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(87.0%, Equal の項)は性別によって平均に差があるとは言えない。
- 検定基準
  - どれくらいの割合(確率)でその仮説が発生するか?
  - 確率が小さい ==> 稀なこと(普通ではない) ==> 差がある(有意)
  - 5% 有意、1% 有意 : 今までの慣習から
[演習] 皆さんだけのデータ(39名)では、どう言う結論が得られるか? ===> 各自で結論づけてみよ

Wilcoxon 検定 : ノンパラメトリック検定 : 分布が正規分布に従っている必要はない
・少数例、医学分野、血圧、...

プログラム : les1102.sas

 /* Lesson 11-2 */
 /*    File Name = les1102.sas   06/28/01   */

data gakusei;
  infile 'all01.prn';
  input seibetsu $ height weight chest jitaku $ kodukai;

proc print data=gakusei(obs=10);
run;

proc npar1way data=gakusei wilcoxon;   : wilcoxon 検定
  class seibetsu;                      : 分類したい特性変数の指定
  var height weight chest kodukai;     : 比較したい変量名
run;                                   :

出力結果 : les1102.lst


                              SAS システム                             2
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

            Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable HEIGHT
                    Classified by Variable SEIBETSU

                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEIBETSU     N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           55       1854.0    5417.5000   356.511049    33.709091
   M          141      17452.0   13888.5000   356.511049   123.773050
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             3
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  1854.00   Z = -9.99408   Prob > |Z| = 0.0001

         T-Test Approx. Significance = 0.0001

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ =  99.910   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.0001

                              SAS システム                             4
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

            Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable WEIGHT
                    Classified by Variable SEIBETSU


                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEIBETSU     N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           34        797.0       2992.0   264.785469    23.441176
   M          141      14603.0      12408.0   264.785469   103.567376
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             5
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  797.000   Z = -8.28784   Prob > |Z| = 0.0001

         T-Test Approx. Significance = 0.0001

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ =  68.720   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.0001

                              SAS システム                             6
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

             Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable CHEST
                    Classified by Variable SEIBETSU


                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEIBETSU     N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           19    420.50000    693.50000   77.9397295   22.1315789
   M           53   2207.50000   1934.50000   77.9397295   41.6509434
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             7
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  420.500   Z = -3.49629   Prob > |Z| = 0.0005

         T-Test Approx. Significance = 0.0008

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ =  12.269   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.0005

                              SAS システム                             8
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

            Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable KODUKAI
                    Classified by Variable SEIBETSU


                        Sum of     Expected      Std Dev         Mean
   SEIBETSU     N       Scores     Under H0     Under H0        Score

   F           51       4692.0    4717.5000   321.585105   92.0000000
   M          133      12328.0   12302.5000   321.585105   92.6917293
                   Average Scores Were Used for Ties

         Wilcoxon 2-Sample Test (Normal Approximation)
         (with Continuity Correction of .5)

                              SAS システム                             9
                                          14:00 Wednesday, June 20, 2001

                   N P A R 1 W A Y  P R O C E D U R E

         S =  4692.00   Z = -.077740   Prob > |Z| = 0.9380

         T-Test Approx. Significance = 0.9381

         Kruskal-Wallis Test (Chi-Square Approximation)
         CHISQ = 0.00629   DF =  1   Prob > CHISQ = 0.9368

結果の見方 : Prob>|Z|
- 分布が不明なときはノンパラメトリック手法を使う
- この手法では身長/体重/胸囲/小遣いの検定結果はパラメトリック手法と同じであった。
  - 身長(0.0%)や体重(0.0%)、胸囲(0.0%)は性別によって平均に差があると言える。
  - 小遣い(93.8%)は性別によって平均に差があるとは言えない。

対応のある 2群の検定

薬の投与前後での測定、運動の前後での測定、実験の前後、...
proc univariate の中で表示されている
詳しくは配布資料を参照のこと

プログラム : les1103.sas

 /* Lesson 11-3 */
 /*    File Name = les1103.sas   06/28/01   */

data pair;                                     :
  input x y @@;                                : @@ は 1行に複数のデータがあることを示す 
  dif=x-y;                                     : 差(difference)を計算する
cards;                                         : データをプログラム内に記述する
  3.51 3.39  3.07 3.39  3.29 3.20  3.03 3.11   : x1,y1,  x2,y2,  x3,y3,  x4,y4,
  3.38 3.17  3.30 3.09  3.15 3.17  3.25 3.09   : x5,y5,  x6,y6,  x7,y7,  x8,y8
;                                              :
                                               :
proc print data=pair(obs=10);                  :
run;                                           :
proc univariate data=pair plot;                :
  var dif;                                     : 差について
run;                                           :

出力結果 : les1103.lst


                              SAS システム                             2
                                           08:22 Thursday, June 21, 2001
                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                                Moments

                N                 8  Sum Wgts          8
                Mean        0.04625  Sum            0.37
                Std Dev    0.180629  Variance   0.032627
                Skewness   -1.31523  Kurtosis   1.511099
                USS          0.2455  CSS        0.228388
                CV         390.5489  Std Mean   0.063862
                T:Mean=0   0.724218  Pr>|T|       0.4924
                Num ^= 0          8  Num > 0           5
                M(Sign)           1  Pr>=|M|      0.7266
                Sgn Rank          7  Pr>=|S|      0.3594

                              SAS システム                             3
                                           08:22 Thursday, June 21, 2001
                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                            Quantiles(Def=5)

                 100% Max      0.21       99%      0.21
                  75% Q3      0.185       95%      0.21
                  50% Med     0.105       90%      0.21
                  25% Q1      -0.05       10%     -0.32
                   0% Min     -0.32        5%     -0.32
                                           1%     -0.32
                 Range         0.53                    
                 Q3-Q1        0.235                    
                 Mode          0.21                    

                              SAS システム                             4
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF
                                Extremes

                   Lowest    Obs     Highest    Obs
                    -0.32(       2)     0.09(       3)
                    -0.08(       4)     0.12(       1)
                    -0.02(       7)     0.16(       8)
                     0.09(       3)     0.21(       5)
                     0.12(       1)     0.21(       6)

                              SAS システム                             5
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF

            Stem Leaf                     #             Boxplot
               2 11                       2                |   
               1 26                       2             +-----+
               0 9                        1             |  +  |
              -0 82                       2             +-----+
              -1                                           |   
              -2                                           |   
              -3 2                        1                |   
                 ----+----+----+----+              
             Multiply Stem.Leaf by 10**-1          

                              SAS システム                             6
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                          Univariate Procedure
Variable=DIF

                             Normal Probability Plot              
          0.25+                                  *++++*           
              |                           *++*+++                 
              |                       *++++                       
         -0.05+                *+++*++                            
              |            +++++                                  
              |      ++++++                                       
         -0.35+ +++++     *                                       
               +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
                   -2        -1         0        +1        +2

結果の見方 :
- t 統計量を適用する場合は、差の分布が正規分布に従っていることを仮定している
- 差の分布が正規分布をしているかを確認するには : Normal Probability Plot
- T:Mean=0 : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための t 統計量
- Pr>=|T| : t 統計量の両側有意確率
- M(Sign) : 母集団の中央値がゼロであるという仮説を検定するための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|M| : 母集団の中央値がゼロであるという仮説の下で、その符合統計量よりも大きい絶対値が得られる確率
- Sgn Rank : 平均=0 (帰無仮説)の検定のための符合付き順位和検定統計量
- Pr>=|S| : 符合付き順位和検定統計量のための近似的有意確率
- この例では、正規分布と言えるようだ。
- また、どの統計指標を用いても、差があるとは言えない : 49.2%, 72.7%, 35.9%

次回は、... :
- 7月05日 14:45 :
  二変量の関係、単回帰分析、...

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