今回は、多変量解析の代表的な手法である回帰分析について解説する。
工学系や農学系の実験等を行う領域では頻繁に使用される手法であるが、日常的な話題の中でも概念は広く利用されているので、取っ付き易い手法ではないだろうか。過去のデータからその構造を把握し、新規に測定されたデータに対する予測を行ないたいと言うときなどに、回帰分析は有用である。構造のシンプルな単回帰分析でこの手法の原理を理解し、複数の説明変量を用いた重回帰分析に拡張する。残差の取り方や、その二乗和を最少にするという考えは同じである。
散布図にもっともらしい「直線」を当てはめたい。
皆さんから収集した体格データを用いて、散布図を描いてみよう。どういう直線が「もっともらしい」と考えるか?
以下は得られたデータをそのままプロットしたものである。
今回取り扱った身長や体重は記憶に頼っている部分もあり離散量として回答されているので、
そのままプロットすると、同じポイントは重なって表示され(重なっている数は読み取れない)、また、「縞模様」状になってしまう。
そこで、一種のテクニックとして、各プロット点に微小な乱数を乗せて
(微妙に揺らして)描画すると密度が視覚的に理解できる。
言うまでも無いだろうが、あくまでもプロットする際のテクニックであり、
(回帰)分析に用いるデータに乱数を付加しているわけではない。
式の展開、解法。 直線の方程式:
測定値と予測値のズレ:
ズレの2乗の和を最小に:
[余談] 回帰分析では「2乗和」を最小にすることを考えるが、「絶対値和」とか「符号付き和(1乗和)」を最小にする方法もアイディアとしてはあり得る。 2乗和だと式の展開が楽になる。
67.8 <=== 67.75~67.84
直線(平面)の方程式:
測定値と予測値のズレ:
Sunday, October 24, 2021 09:52:33 PM 61
Obs sex shintyou taijyuu kyoui jitaku kodukai carryer tsuuwa
1 F 145.0 38 . 自宅生 10000 .
2 F 145.5 42 76 自宅生 0 3700
3 F 146.7 41 85 自宅生 10000 Vodafone 6000
4 F 148.0 42 . 自宅生 50000 .
5 F 148.0 43 80 自宅生 50000 DoCoMo 4000
6 F 149.0 45 . 下宿生 60000 .
7 F 150.0 46 86 40000 .
8 F 150.0 47 . 自宅生 . .
9 F 151.0 45 . 自宅生 20000 docomo 5000
10 151.0 46 . 自宅生 0 6500
Sunday, October 24, 2021 09:52:33 PM 62
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: taijyuu
Number of Observations Read 530
Number of Observations Used 530
Analysis of Variance
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 1 20474 20474 415.07 <.0001
Error 528 26045 49.32673
Corrected Total 529 46519
Root MSE 7.02330 R-Square 0.4401
Dependent Mean 59.76679 Adj R-Sq 0.4391
Coeff Var 11.75117
Parameter Estimates
Parameter Standard
Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|
Intercept 1 -79.19636 6.82764 -11.60 <.0001
shintyou 1 0.82035 0.04027 20.37 <.0001
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 63
s
h t k c
i a j o a t r
n i k i d r s p e
t j y t u r u r s
O s y y o a k y u e i
b e o u u k a e w d d
s x u u i u i r a 1 1
1 F 145.0 38.0 . 自宅生 10000 . 39.7550 -1.7550
2 F 145.5 42.0 76 自宅生 0 3700 40.1651 1.8349
3 F 146.7 41.0 85 自宅生 10000 Vodafone 6000 41.1496 -0.1496
4 F 148.0 42.0 . 自宅生 50000 . 42.2160 -0.2160
5 F 148.0 43.0 80 自宅生 50000 DoCoMo 4000 42.2160 0.7840
6 F 149.0 45.0 . 下宿生 60000 . 43.0364 1.9636
7 F 150.0 46.0 86 40000 . 43.8567 2.1433
8 F 150.0 47.0 . 自宅生 . . 43.8567 3.1433
9 F 151.0 45.0 . 自宅生 20000 docomo 5000 44.6771 0.3229
10 151.0 46.0 . 自宅生 0 6500 44.6771 1.3229
11 F 151.0 50.0 . 下宿生 60000 J-PHONE . 44.6771 5.3229
12 F 151.7 41.5 80 自宅生 35000 . 45.2513 -3.7513
13 F 152.0 35.0 77 自宅生 60000 DoCoMo 2000 45.4974 -10.4974
14 F 152.0 43.0 . 自宅生 20000 au 3500 45.4974 -2.4974
15 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 45.4974 -1.4974
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 64
Plot of taijyuu*shintyou. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
100 + A
| A
| A
| A A
| A
| A A A A
| AA A
80 + A A A A
| A B AA AAAA
| B A BA BA A AA
taijyuu | A AC EC CBCCA I AA A
| A ABA BCB CABB A A A
| A AAA C BC AFD BBB GCDB CBA AAA
| BAB B D EJE FCBABBC ACA AA
60 + A AA AA ABFAABFFACID EBDD AEA AA
| A A AAB ECDFBBGDADBAAECAC
| A B EC DDA GCII EFD CCB F AA
| A A ABAB AD DFC DDCCBAAA BA A A
| BBAC CB CCBA
| ABB AB B B AC ABAA A
| A B ABA A BA A
40 + A A A
| A
| A
|
|
|
|
20 +
--+------------+------------+------------+------------+------------+--
140 150 160 170 180 190
shintyou
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 65
Plot of pred1*taijyuu. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
80 +
P |
r |
e |
d | A A
i | A A A
c | AA A AA A
t 70 + B AAA A AA A A A
e | B CB ABB AH A A
d | A A BAD A BBAB ABA B A A A A A
| AAB EACAABCBC B C A B
V | A BAC BD DAAB DABBAB A AA A A
a | AABBAABAICBCABAACAAAB AA A A A A A
l | BA CBBCBCAEDHAABCAB CCB A
u 60 + AABBFD FAG EEFDABBAA A B A A
e | A B CBAFBEAAA CA B A AA
| AE AAEBDFCBBAEB B A
o | A C EB BAEBCB A BBD A
f | A BA ACFBCBB A B B AB A
| A BA A
t | C ABCCAAB C AA A
a 50 + A B BBAAAA A A
i | AB AA CABA A
j | A B
y | A ABAA A A A
u | ABA A
u | AA A
| A
40 + A A
-+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-
30 40 50 60 70 80 90 100
taijyuu
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 66
Plot of resid1*shintyou. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
40 +
|
| A
| A
30 + A
| A A
| A
| A A
R 20 + A A
e | A B A B A
s | A A A A A
i | A A A A AA A AA
d 10 + A AA AC AAC CB B A A A
u | A A A BA BB BC AD BB AB B A
a | A A A A A A BDD CCAAC CBA A A
l | A ABA A A BA CA BA ABB FD CJB BBAAEB BA I
0 +---------A-B---A--AAABD--A-ACB-CD-BGC-BAABFJ-EC-ADC-DD--A-AA---A-AA----
| A B A A AC CC DE CC FKBBE ABI FCAA CBA A
| A B A B AB A CDBAHCACFEADBAADBAE AC BA A
| AB A C ABA CA CBBCC AB EB AD AEA A
-10 + A A D BA A CB BD A C A AB
| A A B A
| A A A
|
-20 +
|
-+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
140 150 160 170 180 190
shintyou
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 67
Plot of resid1*taijyuu. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
40 +
|
| A
| A
30 + A
| A A
| A
| A A
R 20 + A A
e | A BAA A A
s | A A A A A
i | A A A A ABB
d 10 + A AE ABCD AB A A
u | A A AA BBBDACBABAC B A
a | A A A AA ABECBEAEBB AA
l | A ABA ABAAADAACAFBHFFCBCE I A
0 +-----------AAA-ABACACAAFCFDDCBJDICAFDBBAAAAA-A-------------------------
| A AB A BECCFBBLEEFBKDCC DAAA
| AB ABAB FCEDEGGCF IABBCA AA
| ABA CBBC CADCCC CEAGB A A
-10 + A A AF AAACCCB B BAA
| A A B A
| A A A
|
-20 +
|
-+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+
30 40 50 60 70 80 90 100
taijyuu
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 68
The UNIVARIATE Procedure
Variable: resid1 (Residual)
Moments
N 530 Sum Weights 530
Mean 0 Sum Observations 0
Std Deviation 7.01665759 Variance 49.2334837
Skewness 1.23637638 Kurtosis 3.0842392
Uncorrected SS 26044.5129 Corrected SS 26044.5129
Coeff Variation . Std Error Mean 0.30478413
Basic Statistical Measures
Location Variability
Mean 0.00000 Std Deviation 7.01666
Median -0.75341 Variance 49.23348
Mode 1.53266 Range 50.10177
Interquartile Range 7.76637
Tests for Location: Mu0=0
Test -Statistic- -----p Value------
Student's t t 0 Pr > |t| 1.0000
Sign M -27 Pr >= |M| 0.0212
Signed Rank S -7355.5 Pr >= |S| 0.0369
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 69
The UNIVARIATE Procedure
Variable: resid1 (Residual)
Tests for Normality
Test --Statistic--- -----p Value------
Shapiro-Wilk W 0.93292 Pr < W <0.0001
Kolmogorov-Smirnov D 0.088405 Pr > D <0.0100
Cramer-von Mises W-Sq 1.013696 Pr > W-Sq <0.0050
Anderson-Darling A-Sq 6.390978 Pr > A-Sq <0.0050
Quantiles (Definition 5)
Level Quantile
100% Max 34.454781
99% 23.990091
95% 12.634427
90% 8.721152
75% Q3 3.197259
50% Median -0.753406
25% Q1 -4.569112
10% -7.775750
5% -9.365573
1% -11.904511
0% Min -15.646988
Sunday, October 24, 2021 09:52:34 PM 70
The UNIVARIATE Procedure
Variable: resid1 (Residual)
Extreme Observations
------Lowest----- -----Highest-----
Value Obs Value Obs
-15.6470 477 27.2751 369
-14.3656 389 28.1734 474
-13.8775 508 28.8104 239
-13.4673 488 33.1734 475
-12.2752 93 34.4548 386
[この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
[この例] 44% 程(約半分)を説明できている。
[この例] a=-79.2, b=0.820
回帰係数の検定(係数=0 か?) : Pr > |t|) : 小さいと有意(係数=0ではないと言える)
[この例] 両者とも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
[この例] 残差には概ね傾向は見られない。 ただし体重の大きい 5例程度は要確認。場合によっては外れ値として除外も。
測定精度上回る計算結果は出せても、意味はない。
[重要な注意] 統計ソフトは単なる道具。使いこなすのは各自。
[例1] 四捨五入の数値で考えてみれば : 精度(正確さ)が異なることに注意
[例2] 日本の観測史上の最高気温は、
2018(平成30)年7月23日に熊谷市で観測された41.1度であり、
最低気温は、1902(明治35)年1月25日に北海道旭川市の-41度であった。===> -41.0度
12.3 <=== 12.25~12.34
12 <=== 11.5 ~12.4
68 <=== 67.5 ~68.4
なお、参考までに最高気温の2位は41.0度で岐阜県の美濃市と金山町の2ヶ所。
[例3] 2001年のイチロー選手の打率は3割5分であり、
2006年は3割3分1厘であった。===> 3割5分0厘
ズレの2乗の和を最小に:
Sunday, October 24, 2021 10:05:25 PM 84
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: taijyuu
Number of Observations Read 199
Number of Observations Used 199
Analysis of Variance
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 2 12468 6234.03633 130.20 <.0001
Error 196 9384.22383 47.87869
Corrected Total 198 21852
Root MSE 6.91944 R-Square 0.5706
Dependent Mean 60.44774 Adj R-Sq 0.5662
Coeff Var 11.44698
Parameter Estimates
Parameter Standard
Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|
Intercept 1 -104.42632 10.63578 -9.82 <.0001
shintyou 1 0.77095 0.06495 11.87 <.0001
kyoui 1 0.40189 0.05792 6.94 <.0001
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 85
s
h t k c
i a j o a t r
n i k i d r s p e
t j y t u r u r s
O s y y o a k y u e i
b e o u u k a e w d d
s x u u i u i r a 2 2
1 F 145.5 42.0 76 自宅生 0 3700 38.2899 3.7101
2 F 146.7 41.0 85 自宅生 10000 Vodafone 6000 42.8321 -1.8321
3 F 148.0 43.0 80 自宅生 50000 DoCoMo 4000 41.8248 1.1752
4 F 150.0 46.0 86 40000 . 45.7781 0.2219
5 F 151.7 41.5 80 自宅生 35000 . 44.6773 -3.1773
6 F 152.0 35.0 77 自宅生 60000 DoCoMo 2000 43.7030 -8.7030
7 F 153.0 46.5 87 下宿生 10000 . 48.4928 -1.9928
8 F 153.0 55.0 78 自宅生 30000 . 44.8758 10.1242
9 F 154.4 44.0 75 自宅生 9000 au 2000 44.7494 -0.7494
10 F 155.0 48.0 83 下宿生 180000 . 48.4271 -0.4271
11 F 156.0 42.0 85 自宅生 0 DoCoMo 15000 50.0019 -8.0019
12 F 156.0 46.0 82 自宅生 10000 Vodafone 7000 48.7962 -2.7962
13 F 156.0 48.0 70 自宅生 30000 . 43.9735 4.0265
14 F 156.0 49.0 85 自宅生 25000 . 50.0019 -1.0019
15 F 156.0 50.0 82 自宅生 40000 Vodafone 10000 48.7962 1.2038
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 86
Plot of taijyuu*shintyou. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
100 + A
|
|
| A A
| A
| A A A
| AA
80 + A
| A AA A
| A A AA
taijyuu | B CC BAA A B A
| A AA AA AAA A A A
| AA BB DA AA ABAA AA
| A A A CEC B AA B B A
60 + A A A AAC ACB AAA B A ABA A
| A A A B CABBA BAA
| A A AA A CACC BBA A A
| A B D AAB B AA A A
| AB B CA B
| A A B A A BA A
| A A A A A A
40 + A
|
| A
|
|
|
|
20 +
--+------------+------------+------------+------------+------------+--
140 150 160 170 180 190
shintyou
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 87
Plot of taijyuu*kyoui. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
100 + A
|
|
| A A
| A
| AB
| A A
80 + A
| B A A
| A A A A
taijyuu | AABE AC AA A
| A A FC
| AAAC DBBBAB A
| C B CCGB B A
60 + A BC DAGBD A
| A A AFCBAC
| A A A ACB HAA BA
| A A B ACCCB A
| A A ABBC A
| A DAAAAA
| C B A
40 + A
|
| A
|
|
|
|
20 +
--+------------+------------+------------+------------+------------+--
20 40 60 80 100 120
kyoui
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 88
Plot of pred2*taijyuu. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
P |
r 80 +
e | A A
d | A A A
i | A A A
c | AABB
t 70 + C BAA AB A B
e | A B A A AB B A A A A A
d | A B BB CA A B B A
| A AAABAAADA B BAA A
V | AA A DA BBBAABA A
a 60 + AAA AAC AABA D
l | A AD F A C BA A
u | B BA A BAA A A A
e | BB ACA A A A
| A CB B AA
o 50 + A AABAA AA
f | AAAA AA A A
| A
t | A A A A A
a | A A
i 40 +
j | A A
y |
u |
u |
30 +
|
-+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-
30 40 50 60 70 80 90 100
taijyuu
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 89
Plot of resid2*shintyou. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
40 +
| A
|
|
30 +
|
| A A
| A A
R 20 +
e | A
s | A A
i | A A A
d 10 + A A A A
u | B A AAA BB A A
a | A C AA B AE A A B A
l | A AA A A B ABA C BB A A
0 +-----------A--A-----AAB-----AA-A--ABA-BA-BEB---A--A-BAAA-A-------------
| A A A AA D CC AB AA BDAACD B BBA B A A
| AA BC BB AAA AA AC ABB A
| A A AA AC AAAA A AA ABA A
-10 + AA B A
| A A A
|
|
-20 +
|
-+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
140 150 160 170 180 190
shintyou
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 90
Plot of resid2*kyoui. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
40 +
| A
|
|
30 +
|
| A A
| A A
R 20 +
e | A
s | A A
i | A A A
d 10 + A B A
u | A A DC B A
a | B D AEAAC A A
l | A A BAABBABA C AB
0 +------------------------------A----A---B--CBABEBBGA--A--A-----AA-------
| A GBBAOACGBABA A
| A ACABBCBFC B
| BA BCA F ABAA
-10 + A ABA
| A A A
|
|
-20 +
|
-+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
20 40 60 80 100 120
kyoui
Sunday, October 24, 2021 10:05:26 PM 91
Plot of resid2*taijyuu. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
40 +
| A
|
|
30 +
|
| AA
| A A
R 20 +
e | A
s | A A
i | A A A
d 10 + A A A A
u | A A A AAAC AB
a | A A A A AAA E AB B AA
l | A AA BABBABA CAB
0 +-------------AA-A-AAB--B-ABBA-DAAC-AAAB--B--A---A----------------------
| AA ABBBCCAA ADAAC DBDB C AAB
| ABB DACA CAC C AA
| A A ABB A BA AAB B B A
-10 + A A C
| A A A
|
|
-20 +
|
-+---------+---------+---------+---------+---------+---------+---------+
30 40 50 60 70 80 90 100
taijyuu
[この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
[この例] 56.6% 程(約半分)を説明できている。
[この例] a=-104.4(定数項), b=0.7710(身長), c=0.4019(胸囲)
回帰係数の検定(係数=0 か?) : Pr > |t|) : 小さいと有意(係数=0ではないと言える)
[この例] 3つとも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
[この例] 残差には概ね傾向は見られない。 ただし残差が20を超える辺りの5サンプルほどは(少なくとも)分布を乱しているように見える。加えて、今頃になってだが、胸囲が50cm未満の者が2サンプルある。===> 外れ値か? 吟味が必要。
残差分析の結果、残差が20を超えている5サンプル程について吟味したところ、 一般的な学生の体型と異なっていると判断し、 これらを除外して分析をしてみよう。
Sunday, October 24, 2021 10:20:13 PM 108
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: taijyuu
Number of Observations Read 190
Number of Observations Used 190
Analysis of Variance
Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 2 10875 5437.31452 217.73 <.0001
Error 187 4669.99539 24.97324
Corrected Total 189 15545
Root MSE 4.99732 R-Square 0.6996
Dependent Mean 59.41368 Adj R-Sq 0.6964
Coeff Var 8.41106
Parameter Estimates
Parameter Standard
Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t|
Intercept 1 -100.47535 8.03701 -12.50 <.0001
shintyou 1 0.61679 0.04899 12.59 <.0001
kyoui 1 0.64585 0.05742 11.25 <.0001
Sunday, October 24, 2021 10:20:13 PM 109
s
h t k c
i a j o a t r
n i k i d r s p e
t j y t u r u r s
O s y y o a k y u e i
b e o u u k a e w d d
s x u u i u i r a 3 3
1 F 145.5 42.0 76 自宅生 0 3700 38.3515 3.6485
2 F 146.7 41.0 85 自宅生 10000 Vodafone 6000 44.9043 -3.9043
3 F 148.0 43.0 80 自宅生 50000 DoCoMo 4000 42.4768 0.5232
4 F 150.0 46.0 86 40000 . 47.5855 -1.5855
5 F 151.7 41.5 80 自宅生 35000 . 44.7589 -3.2589
6 F 152.0 35.0 77 自宅生 60000 DoCoMo 2000 43.0064 -8.0064
7 F 153.0 46.5 87 下宿生 10000 . 50.0817 -3.5817
8 F 153.0 55.0 78 自宅生 30000 . 44.2691 10.7309
9 F 154.4 44.0 75 自宅生 9000 au 2000 43.1950 0.8050
10 F 155.0 48.0 83 下宿生 180000 . 48.7319 -0.7319
11 F 156.0 42.0 85 自宅生 0 DoCoMo 15000 50.6404 -8.6404
12 F 156.0 46.0 82 自宅生 10000 Vodafone 7000 48.7028 -2.7028
13 F 156.0 48.0 70 自宅生 30000 . 40.9526 7.0474
14 F 156.0 49.0 85 自宅生 25000 . 50.6404 -1.6404
15 F 156.0 50.0 82 自宅生 40000 Vodafone 10000 48.7028 1.2972
Sunday, October 24, 2021 10:20:13 PM 113
Plot of resid3*shintyou. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
15 + A
| A
|
| A
| A A
10 + AA
| A B A A
| A A A B A A
R | B B B
e | A D A A
s 5 + A BA A A
i | A B A AB A
d | A A A A A AA
u | AA A A AA A A
a | A A A B AA A A CA B
l 0 +--------------------------------------AA--BB--AAA-----A----A--A--------
| A A AAC A A AA AA
| A A A AA BA AAA AAAA A AA AA B
| A AA B BA AA AAA AA CA A AA A A
| A A B BA A A
-5 + A A BA A A AA A AB
| A AB A A A A
| AB AB
| A A
| A A A A
-10 + A
|
-+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
140 150 160 170 180 190
shintyou
Sunday, October 24, 2021 10:20:13 PM 114
Plot of resid3*kyoui. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
15 + A
| A
|
| A
| A A
10 + A A
| B A A A
| A AAB AA
R | A B A B
e | A A BA A A
s 5 + A A A A B
i | AA A A A A A A
d | A A A AAA A
u | A AAA A AA A
a | AA B A BA AA AA B A
l 0 +----------------------------A------C------DA-----AA-----A--------------
| A A A AAA ABB A A
| A A BB ADB AB B AA A A
| A G AB CB B C A A A
| A AC BA A
-5 + A C A D B A A
| A A A AA B A
| A B A AA
| A A
| A B A
-10 + A
|
-+-------------+-------------+-------------+-------------+-------------+
60 70 80 90 100 110
kyoui
Sunday, October 24, 2021 10:20:13 PM 115
Plot of resid3*taijyuu. Legend: A = 1 obs, B = 2 obs, etc.
|
|
15 + A
| A
|
| A
| A A
10 + A A
| A A AA A
| A A A B AA
R | A AAA A A
e | A A B A B
s 5 + A A AAA A
i | A AA AA A A A
d | A AA A B A
u | AA A A A A B
a | AA A A A A CA A A B A
l 0 +------------------------------A----A--D--B--A-AB-----------------------
| B BA AD A A A
| A BBA A DBAB A A B A A
| A ABB BBAA A AA B CA C
| A A AD A A
-5 + A AA AA B A B AA A
| A AA A A AA A
| B A A B
| A A
| A A B
-10 + A
|
---+----------+----------+----------+----------+----------+----------+--
30 40 50 60 70 80 90
taijyuu
[この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
[この例] 69.6% 程(約7割)を説明できている。
[この例] a=-100.5(定数項), b=0.6168(身長), c=0.6459(胸囲)
回帰係数の検定(係数=0 か?) : Pr > |t|) : 小さいと有意(係数=0ではないと言える)
[この例] 両者とも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
[この例] 残差には概ね傾向は見られない。
Q-Qプロットでもほぼライン上に絡まるように推移している。
一様性、バナナカーブ、ラッパ状、... ===> 残差プロット