代表する線を決めるには (回帰分析)

理数オリンピックセミナー : 前半 (12/20/09)

　本講義では、まず、数理的な導出よりも、当該手法がどのようなモデルやアイディアに基づいて構成されたかの考え方や原理に重点を置いて説明する。次にそれを数式に直していこう。
　その最初に紹介する統計解析手法として、回帰分析を取り上げる。工学系の実験等を行う領域では頻繁に使用される手法であるが、日常的な話題の中でも概念は広く利用されているので、取っ付き易い手法ではないだろうか。
　過去のデータからその構造を把握し、新規に測定されたデータに対する予測を行ないたいと言うときに、回帰分析は有用である。構造のシンプルな単回帰分析でこの手法の原理を理解し、複数の説明変量を用いた重回帰分析に拡張する。残差の取り方や、その二乗和を最少にするという考えは同じである。
　ここでは SAS プログラムとその出力を例示しながら説明するが、手慣れたプログラム言語を使って各自実践してほしい。

　● 導入

Step 1

Step 2

　● 目次

　　 1.　単回帰分析 : 予測等に使う、連続変量の関係
　　 2.　「体重の大きい者を除外」して実行するには?
　　 3.　重回帰分析 : 2変量以上の説明する変量(説明変量)で 1変量(目的変量)を説明
　　 4.　特定グループでの解析
　　 5.　[要点] 解析する上での注意点
　　 6.　誤用?!
　　 7.　4つの尺度と回帰分析
　　 8.　有効桁数に注意せよ : どこまでが「意味ある桁」か?
　　 9.　回帰分析における変数選択、総当たり法

　● 回帰分析 : 連続変量の予測

[例題:利用データ]

all07a.prn

今までの講義で収集してきた 15回分をマージ。8変量、375ケース。
性別(M/F)、身長、体重、胸囲、仕送り/小遣いの別(G/J)、仕送り/小遣い額、携帯電話会社名、月平均通話料
1行目は、各変量の説明が入っているので、計算時には読み飛ばす必要がある。

単回帰分析 : 予測等に使う、連続変量の関係
- 体重を身長で説明(回帰)したい : [体重]=a[身長]+b : 回帰係数
- 説明される変量と説明する変量 : 説明する変数が一つ＝「単」 <===>「重」
- 説明される変量 : 目的変数、従属変数、dependent variable
- 説明する変量 : 説明変数、独立変数、independent variable
- どうやって直線を決める? : 予測誤差の2乗和を最小にする
- 誤差の取り方 : 指定された独立変数における測定誤差
- 式の展開、解法。
1. プログラム : les1102.sas
  /* Lesson 11-2 */ /* File Name = les1102.sas 06/28/09 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc reg data=gakusei; : 回帰分析 model taijyuu=shintyou; : 変量を指定 output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : 結果項目の保存 run; : : proc print data=outreg1(obs=15); : 表示してみる run; : : proc plot data=outreg1; : 散布図を描く plot taijyuu*shintyou/vaxis=20 to 100 by 20; : 体重と身長(縦軸指定) plot pred1*taijyuu; : 予測値と観測値 plot resid1*pred1 /vref=0; : 残差と予測値(残差解析)(水平軸指定) plot resid1*shintyou/vref=0; : 残差と説明変数(残差解析) plot resid1*taijyuu /vref=0; : 残差と目的変数(残差解析) run; : : proc univariate data=outreg1 plot normal; : 残差を正規プロットして確かめる var resid1; : run; :
  [備考] 上記のコロン以降は説明のためのものであり、 SAS のプログラムではありません。
  [補足] proc plot の下に以下の行を追加した方がより正確ではある。欠損値を含むデータを解析対象から除外する事を指示する命令文である。「欠損値です」の表示が無くなるだけで、得られる図は同じ(欠損値は描画できないから)。試しに追加する/しないの両方で実行してみよ。
```
  where shintyou^=. and taijyuu^=.;
```
2. 出力結果 : les1102.lst
  SAS システム 1 08:52 Thursday, June 28, 2009 OBS SEX SHINTYOU TAIJYUU KYOUI JITAKU KODUKAI CARRYER TSUUWA 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 5 F 148.9 . . J 60000 . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . 7 F 150.0 46.0 86 40000 . 8 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 9 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . 10 F 151.7 41.5 80 J 35000 . SAS システム 2 08:52 Thursday, June 28, 2009 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 14055.20146 14055.20146 318.560 0.0001 Error 323 14251.10026 44.12105 C Total 324 28306.30172 Root MSE 6.64237 R-square 0.4965 Dep Mean 58.78092 Adj R-sq 0.4950 C.V. 11.30021 SAS システム 3 08:52 Thursday, June 28, 2009 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -79.351524 7.74803757 -10.241 0.0001 SHINTYOU 1 0.818831 0.04587737 17.848 0.0001 SAS システム 4 08:52 Thursday, June 28, 2009 S H T K C I A J O A T R N I K I D R S P E T J Y T U R U R S O S Y Y O A K Y U E I B E O U U K A E W D D S X U U I U I R A 1 1 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . 39.3789 -1.3789 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 40.7709 0.2291 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . 41.8354 0.1646 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 41.8354 1.1646 5 F 148.9 . . J 60000 . 42.5724 . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . 42.6542 2.3458 7 F 150.0 46.0 86 40000 . 43.4731 2.5269 8 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 44.2919 0.7081 9 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . 44.2919 5.7081 10 F 151.7 41.5 80 J 35000 . 44.8651 -3.3651 11 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 45.1107 -10.1107 12 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 45.1107 -2.1107 13 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 45.1107 -1.1107 14 F 153.0 41.0 . J 125000 No . 45.9296 -4.9296 15 F 153.0 42.0 . G 0 Vodafone 1000 45.9296 -3.9296 SAS システム 6 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 45 オブザベーションが欠損値です．) TAIJYUU | 100 + B | A A 80 + A A A B B B A A | A B CBDDE ECGBD DCH B BB 60 + A AA AE B CBECG KDSJMBMGFFE CBDCB A | AAB CACEC EEIBH EBEGG DAACC BC 40 + A A B D BA BA | 20 + | --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 7 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : PRED1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 45 オブザベーションが欠損値です．) 80 + | PRED1 | A A B A A | A BDACFBB H B A A A A | ABBCCCNHEECIBB A BC A 60 + CFCLHHIMEIBBADBBA A A | AH EHDIACCAAE A | BCEEEHACAABA | BABCDACA A A | A CACB B A 40 + A BA ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 8 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 45 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A A d | A B B A BA A u | A A A AB BBBB BCBCDEDBB ABA A A a 0 +-------------A-ABAAACCCCECDDJBEEBFDIJDQIJJHIDECBJ-A-AB----------- l | AA BAA CABA CGDDACFFDBDFBCBBBBAA | A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 30 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 9 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 45 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A A d | A B B A B A A u | A A A AB B BBB B CBCDE DBB A BA A A a 0 +--------A-A-BAAAC-DBCEC-DDJBE-EBFDI-JDQGKAJHIDE-CBJ-A--AB-------- l | A A BA AAB C A CFE DACFEADBDDD CBBBB AA | A A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 10 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... (NOTE: 45 オブザベーションが欠損値です．) | R 50 + e | s | A A i 25 + A A A d | A BABC A u | A ABACBBJBECGBC B A a 0 +--------------A-DBEFFFMLERGKUTINEJ-GA-------------------- l | A CABCK DMEIEEHCCB | A A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 11 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 325 Sum Wgts 325 Mean 0 Sum 0 Std Dev 6.63211 Variance 43.98488 Skewness 1.42133 Kurtosis 4.000837 USS 14251.1 CSS 14251.1 CV . Std Mean 0.367883 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 325 Num > 0 140 M(Sign) -22.5 Pr>=|M| 0.0145 Sgn Rank -3248.5 Pr>=|S| 0.0552 W:Normal 0.916608 Pr<W 0.0001 SAS システム 12 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Quantiles(Def=5) 100% Max 33.59967 99% 22.24447 75% Q3 2.693822 95% 11.59967 50% Med -1.02372 90% 8.244467 25% Q1 -4.03799 10% -7.28364 0% Min -13.9438 5% -8.57436 1% -10.9438 Range 47.54351 Q3-Q1 6.731815 Mode -2.30618 SAS システム 15 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 35+* 1 * .** 5 0 .**** 15 0 .****************************** 119 +--+--+ .********************************************* 178 *-----* -15+** 7 | ----+----+----+----+----+----+----+----+----+ * may represent up to 4 counts SAS システム 16 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 35+ * | ***** | ******+++++ | ++************** | *********************** -15+***+**++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2
3. 結果の見方
  - 対象になったのは 325名。
  - 説明変量が予測に役立っているか?
    - 回帰に役立っているか : Prob>F : 小さいと有意(役立っている)
      [この例] 1% 未満(0.01%) なので役に立っていると言える。
  - 決定係数 : R-Square ( 相関係数 : R )
    - 目的変量が説明変量でどの程度説明しているかの割合。
    - 1 に近いほど当てはまりが良いと言える。
      [この例] 50% 程(半分, 49.7)を説明できている。
  - 回帰係数 : Parameter Estimate
    [この例] a=0.819, b=-79.4
    説明変数が予測に役立っているか?
    回帰係数の検定(係数=0 か?) : Prob>|T| : 小さいと有意(ゼロではないと言える)
    [この例] 両者とも 1% 未満(0.01%) なので回帰係数はゼロではない(何らかの意味がある数字と言える)。
    残差の性質 ===> 正規性 : 残差プロット、残差解析
    
    残差(予測誤差)は正規分布をしていると仮定してモデルが構築されている。
    この仮定が覆ると、回帰分析として成立していないことになる。
    残差が正規分布をしているか確認する必要がある。
    均等に散らばっているか?
    傾向はないか?
    ...
    [この例] 残差には概ね傾向は見られない。ただし体重の大きい 3～4例程度は要確認。場合によっては外れ値として除外も。 ===> 次節
  [注意] 誤差は「説明変量」の軸と垂直に取ることに注意せよ。誤差は測定時に混入していると考えてモデルが構築されているから。

「体重の大きい者を除外」して実行するには?
　前節の正規確率プロットを見ると、体重の大きい 4例程度が正規性を乱していることが判った。そこで体重の大きい者を除外して再度回帰分析にかけてみよう。その際、除外すると言うよりは、「解析対象者を条件付けして絞る」と考えた方が解りやすいかもしれない。ここでは「85Kg 未満の者を対象として」解析を行なう例を示す。

[注意] 「正規性を乱している者は何でも除外してかまわない」というわけではない。今回の場合は、元データに戻ったところ、体育会系のずんぐりした者であったため、普通の大学生とは異なる性質を有していると判断し除外対象とした。除外する場合にはその根拠を明確にしないと、「恣意的な解析」と言われかねないことに注意せよ。

プログラム : les1103.sas
/* Lesson 11-3 */ /* File Name = les1103.sas 06/28/09 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; if shintyou=. | taijyuu=. then delete; : 欠損値データを除外 proc print data=gakusei(obs=10); run; proc corr data=gakusei; where taijyuu<85; : 対象データを絞る run; proc reg data=gakusei; model taijyuu=shintyou; where taijyuu<85; : 対象データを絞る output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; run; proc print data=outreg1(obs=15); run; proc plot data=outreg1; where taijyuu<85; : 対象データを絞る plot taijyuu*shintyou; plot taijyuu*pred1; plot resid1*(pred1 shintyou taijyuu)/vref=0; : まとめて指定することも可 run; proc univariate data=outreg1 plot normal; var resid1; run;

出力結果 : les1103.lst
SAS システム 2 08:52 Thursday, June 28, 2009 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 321 168.6 8.0251 54118.5 145.0 186.0 TAIJYUU 321 58.3498 8.5473 18730.3 35.0000 84.0000 KYOUI 111 85.7477 7.9561 9518.0 46.0000 110.0 KODUKAI 303 49107.3 51750.8 14879500 0 350000 TSUUWA 132 6742.4 4469.7 890002 0 30000.0 SAS システム 3 08:52 Thursday, June 28, 2009 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.72880 0.28729 0.06533 -0.05960 0.0 0.0001 0.0022 0.2569 0.4972 321 321 111 303 132 TAIJYUU 0.72880 1.00000 0.38406 0.06408 -0.04543 0.0001 0.0 0.0001 0.2662 0.6050 321 321 111 303 132 KYOUI 0.28729 0.38406 1.00000 -0.28125 -0.17722 0.0022 0.0001 0.0 0.0033 0.2940 111 111 111 107 37 KODUKAI 0.06533 0.06408 -0.28125 1.00000 0.26949 0.2569 0.2662 0.0033 0.0 0.0021 303 303 107 303 128 TSUUWA -0.05960 -0.04543 -0.17722 0.26949 1.00000 0.4972 0.6050 0.2940 0.0021 0.0 132 132 37 128 132 SAS システム 6 08:52 Thursday, June 28, 2009 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 1 12417.15747 12417.15747 361.385 0.0001 Error 319 10960.80502 34.35989 C Total 320 23377.96249 Root MSE 5.86173 R-square 0.5311 Dep Mean 58.34984 Adj R-sq 0.5297 C.V. 10.04584 SAS システム 7 08:52 Thursday, June 28, 2009 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -72.515375 6.89174111 -10.522 0.0001 SHINTYOU 1 0.776218 0.04083178 19.010 0.0001 SAS システム 10 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A A 75 + A B BAB B C B BA A A | BB B CBICDAEDGDD CCKAB BA | A AA AE B C DCG JDMJLALFEDE CAABA A 50 + AA CACEB DEGBG EBEGG DAACC BC | A A BA AC BA BB A B A | A 25 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 11 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : TAIJYUU*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + | | A A 75 + A B BABAACAABA A A | BB EBHDDFDGDDCCKABBA | A AA AE BC DDNFLKLLGEFCCABAB 50 + AABBCEBDDHCFEBEHIBACC BC | A ABA BD ABBA B A | A 25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 12 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A A d | A AAAAB AC BA A u | A B B AB BBBBABEBHDCDBD B A a 0 +--A-ABAAABABDEACDGCEE-FCIFEJGKKGGDECBJ-A-AB-------------- l | AB BBB E CABCFECBDEDDCBDDCBACBAA | A AA C A -20 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 13 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A A A A d | A AAAAB A C B A A u | A B B AB B BBBAB EBICC DBD AA A a 0 +--------A-A-BAAAB-BBCEA-CDHBE-E-FCI-HCJGKAJHFDE-CBJ-A--AB-------- l | A B BB BAD C ABCFE DADEDADBBDD CBBBB AA | A AA C A -20 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 14 08:52 Thursday, June 28, 2009 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 40 + e | s | i 20 + A B A d | A A AB C BCA A u | B A A B AD EFDHBAGAEB AA a 0 +----------A--AABBBDADFFDFEEMEEICTFLDEGECD-G-A-------------------- l | ADA CDDI ABFFEEFDDAHC CAA | A C B A -20 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 30 40 50 60 70 80 90 TAIJYUU SAS システム 15 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 321 Sum Wgts 321 Mean 0 Sum 0 Std Dev 5.852565 Variance 34.25252 Skewness 0.822649 Kurtosis 1.167031 USS 10960.81 CSS 10960.81 CV . Std Mean 0.326658 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 321 Num > 0 142 M(Sign) -18.5 Pr>=|M| 0.0443 Sgn Rank -2359.5 Pr>=|S| 0.1565 W:Normal 0.954643 Pr<W 0.0001 SAS システム 18 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 22.5+* 2 0 .** 4 0 .***** 13 0 .************* 38 | .***************************** 85 +--+--+ .******************************************* 127 *-----* .*************** 45 | -12.5+*** 7 | ----+----+----+----+----+----+----+----+--- * may represent up to 3 counts SAS システム 19 08:52 Thursday, June 28, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 22.5+ * | **** | *****+++++ | *******++ | +********* | ************ | ***********+ -12.5+****+*++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方 : 前節と本節の出力結果を比較して違いを明確にせよ
- 対象になったのは 321名。
- 当てはまりは良くなったか? : 異常値と外れ値の意味するもの
- 残差の正規性はどのように変化したか?
- 回帰係数はどのように変化したか?
- 説明力(決定係数)はどのように変化したか?
- 単に体重の重い者だけが正規性を乱している訳ではなさそうだ。

重回帰分析 : 2変量以上の説明する変量(説明変量)で 1変量(目的変量)を説明

説明変量が複数になる : 単 ===> 重
体重を身長と胸囲で説明したい。予測したい。
[体重]=a[身長]+b[胸囲]+c : 回帰係数を求めたい。
単回帰とアイディアは同じ : 残差(予測誤差)の二乗和を最小にする(最小二乗法)
説明される変量(目的変量)と平行に残差を取る。

プログラム : les1201.sas

/* Lesson 12-1 */ /* File Name = les1201.sas 07/05/09 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; proc print data=gakusei(obs=10); run; proc reg data=gakusei; : 回帰分析 model taijyuu=shintyou kyoui; : 複数変量を指定 output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : 結果項目の保存 run; : proc print data=outreg1(obs=15); run; : proc plot data=outreg1; : 散布図を描く where shintyou^=. and taijyuu^=. and kyoui^=.; : 解析に使ったデータのみ plot taijyuu*shintyou; : plot taijyuu*kyoui; : plot taijyuu*pred1; : 観測値と予測値 plot resid1*pred1 /vref=0; : 残差と予測値(残差解析) plot resid1*shintyou/vref=0; : 残差と説明変量(残差解析) plot resid1*kyoui /vref=0; : 残差と説明変量(残差解析) plot resid1*taijyuu /vref=0; : 残差と目的変量(残差解析) run; : : proc univariate data=outreg1 plot normal; : 残差を正規プロットして確かめる var resid1; : run; :

出力結果 : les1201.lst
SAS システム 2 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 2 8070.70705 4035.35353 85.102 0.0001 Error 111 5263.40733 47.41808 C Total 113 13334.11439 Root MSE 6.88608 R-square 0.6053 Dep Mean 58.79298 Adj R-sq 0.5982 C.V. 11.71242 SAS システム 3 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -106.300229 12.75196946 -8.336 0.0001 SHINTYOU 1 0.806547 0.07854137 10.269 0.0001 KYOUI 1 0.349475 0.08192373 4.266 0.0001 SAS システム 4 16:41 Wednesday, July 4, 2009 S H T K C I A J O A T R N I K I D R S P E T J Y T U R U R S O S Y Y O A K Y U E I B E O U U K A E W D D S X U U I U I R A 1 1 1 F 145.0 38.0 . J 10000 . . . 2 F 146.7 41.0 85 J 10000 Vodafone 6000 41.7256 -0.72559 3 F 148.0 42.0 . J 50000 . . . 4 F 148.0 43.0 80 J 50000 DoCoMo 4000 41.0267 1.97328 5 F 148.9 . . J 60000 . . . 6 F 149.0 45.0 . G 60000 . . . 7 F 150.0 46.0 86 40000 . 44.7367 1.26333 8 F 151.0 45.0 . J 20000 docomo 5000 . . 9 F 151.0 50.0 . G 60000 J-PHONE . . . 10 F 151.7 41.5 80 J 35000 . 44.0109 -2.51095 11 F 152.0 35.0 77 J 60000 DoCoMo 2000 43.2045 -8.20449 12 F 152.0 43.0 . J 20000 au 3500 . . 13 F 152.0 44.0 . 45000 DoCoMo 4000 . . 14 F 153.0 41.0 . J 125000 No . . . 15 F 153.0 42.0 . G 0 Vodafone 1000 . . SAS システム 6 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... 100 + A | A A TAIJYUU | A A A A | B BABAB BACAA B B A AA | A A B A B BBA BAGBC ACAA AABBA 50 + A A ADB CDEAC BBACB A | A A B A A | | | 0 + --+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 7 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : TAIJYUU*KYOUI. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... 100 + A | A A TAIJYUU | A AA A | A ACACFACCA A A | A A CCAAFBFKAAAA A 50 + A A AA EEHICB | AA B B | | | 0 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 60 80 100 120 KYOUI SAS システム 8 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : TAIJYUU*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... 100 + A | A A TAIJYUU | A A A A | A BBCAABBB B ABC A | A A BA AABBBABAAECDAC BA BA 50 + AA CBDBCCCBEAD B | AA AB A | | | 0 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 9 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A A A B A A A BAABB A A A a 0 +---AA--BB---CBCBCCBABBACB-BAB-BDBDBCBAAA--ABA---A-------- l | A A BB AB B A AB B CB A | A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 50 60 70 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 10 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A A B A A CABAB AB A a 0 +----------A-A-A-A-AAADB-CDEAB-BACBB-BAGAC-CBCAA-B-A-A--A--------- l | A A B AA CB A A A BACAA A | A -25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 140 150 160 170 180 190 SHINTYOU SAS システム 11 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*KYOUI. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A BB C ABEA B a 0 +----------------------B--C--GCENBGBIBBE--B--A---A-------- l | AAABBAG BACA A | A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 60 80 100 120 KYOUI SAS システム 12 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | AAAAAB C ABBAA AA a 0 +----------------BABDDEGDAE-CFEECAC-E----A---------------- l | A A BD AB AAAD CAA | A -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 20 40 60 80 100 TAIJYUU SAS システム 13 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 114 Sum Wgts 114 Mean 0 Sum 0 Std Dev 6.824868 Variance 46.57883 Skewness 2.026813 Kurtosis 7.211418 USS 5263.407 CSS 5263.407 CV . Std Mean 0.639207 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 114 Num > 0 43 M(Sign) -14 Pr>=|M| 0.0111 Sgn Rank -517.5 Pr>=|S| 0.1442 W:Normal 0.865365 Pr<W 0.0001 SAS システム 17 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Histogram # Boxplot 35+* 1 * .* 2 * .** 4 0 .****************** 36 +--+--+ .*********************************** 69 *-----* -15+* 2 0 ----+----+----+----+----+----+----+ * may represent up to 2 counts SAS システム 18 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 35+ * | * * | +**+*++++++ | +++************* | ** ********************* -15+*++*+++++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方
- 対象になったのは 114名。
- 説明変量群が予測に役立っているか?
  - 回帰に役立っているか : Prob>F : 小さいと有意
  - 「役立っている」と言える : 0.01% だから 1% で有意
- 決定係数 : R-Square ( 相関係数 : R )
  - 目的変量が説明変量でどの程度説明しているかの割合。
  - 1 に近いほど当てはまりが良いと言える。: 60.5%
  - 説明変量数が増えると大きくなるのが一般的。
- 回帰係数 : Parameter Estimate
  - 回帰式: a=0.807, b=0.349, c=-106
- ある特定の説明変量が予測に役立っているか?
  - 回帰係数の検定(帰無仮説:係数=0 か?) : Prob>|T| : 小さいと有意
  - 両方とも(身長も胸囲も)有意
  - 「各係数は 0ではない」と言える : 0.01% だから 1% で有意
- 残差の性質 ===> 正規性 : 残差プロット、残差解析
  - 残差(予測誤差)は正規分布をしていると仮定してモデルが構築されている。
  - この仮定が覆ると、回帰分析として成立していないことになる。
  - 残差が正規分布をしているか確認する必要がある。
  - 均等に散らばっているか?
  - 傾向はないか? : もし傾向があると言うことになれば正規性の仮定が崩れている
  - 体重の大きい 3例程度が外れ値と考えられるか要確認 ===> [演習1](第3節)
  - ...
- ...

特定グループでの解析

「男性のみ」と言う特定のグループに対して、同様の解析を行うには?

プログラム : les1202.sas

/* Lesson 12-2 */ /* File Name = les1202.sas 07/05/09 */ data gakusei; infile 'all07ae.prn' firstobs=2; input sex $ shintyou taijyuu kyoui jitaku $ kodukai carryer $ tsuuwa; if sex^='M' & sex^='F' then delete; : 性別不明は除外 if shintyou=. | taijyuu=. | kyoui=. then delete; : 欠損のあるデータは除外 proc print data=gakusei(obs=10); run; proc corr data=gakusei; : 相関係数 where sex='M'; : 男性について run; : : proc reg data=gakusei; : 回帰分析 model taijyuu=shintyou kyoui; : where sex='M'; : 男性について output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : run; : proc print data=outreg1(obs=15); run; proc plot data=outreg1; where sex='M'; : 対象データについて plot taijyuu*shintyou; plot taijyuu*kyoui; plot taijyuu*pred1; plot resid1*(pred1 shintyou kyoui taijyuu)/vref=0; : まとめて記述 /* plot resid1*pred1 /vref=0; plot resid1*shintyou/vref=0; plot resid1*kyoui /vref=0; plot resid1*taijyuu /vref=0; */ run; proc univariate data=outreg1 plot normal; var resid1; run;

出力結果 : les1202.lst
SAS システム 2 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Correlation Analysis 5 'VAR' Variables: SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum SHINTYOU 71 172.5 5.9351 12250.1 156.0 185.0 TAIJYUU 71 64.7282 9.0651 4595.7 46.0000 100.0 KYOUI 71 88.0986 9.6853 6255.0 46.0000 112.0 KODUKAI 67 56358.2 66471.6 3776000 0 350000 TSUUWA 14 6632.1 4247.9 92850.0 350.0 15000.0 SAS システム 3 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / Number of Observations SHINTYOU TAIJYUU KYOUI KODUKAI TSUUWA SHINTYOU 1.00000 0.39968 0.15872 0.09516 0.11552 0.0 0.0006 0.1862 0.4437 0.6941 71 71 71 67 14 TAIJYUU 0.39968 1.00000 0.40227 0.11042 0.14591 0.0006 0.0 0.0005 0.3737 0.6187 71 71 71 67 14 KYOUI 0.15872 0.40227 1.00000 -0.37945 -0.38661 0.1862 0.0005 0.0 0.0015 0.1721 71 71 71 67 14 KODUKAI 0.09516 0.11042 -0.37945 1.00000 0.53783 0.4437 0.3737 0.0015 0.0 0.0473 67 67 67 67 14 TSUUWA 0.11552 0.14591 -0.38661 0.53783 1.00000 0.6941 0.6187 0.1721 0.0473 0.0 14 14 14 14 14 SAS システム 6 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Model: MODEL1 Dependent Variable: TAIJYUU Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 2 1596.38065 798.19033 13.060 0.0001 Error 68 4155.98301 61.11740 C Total 70 5752.36366 Root MSE 7.81776 R-square 0.2775 Dep Mean 64.72817 Adj R-sq 0.2563 C.V. 12.07784 SAS システム 7 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 -54.721337 27.50850038 -1.989 0.0507 SHINTYOU 1 0.526195 0.15945819 3.300 0.0015 KYOUI 1 0.325335 0.09771516 3.329 0.0014 SAS システム 10 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : TAIJYUU*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + A | A A | A 75 + A A A A A AA | B B A D A A A B C A A A D A A A | A A A A B A B A D B C A AAA A A A AA A 50 + A B A | | 25 + --+---------+---------+---------+---------+---------+---------+- 155 160 165 170 175 180 185 SHINTYOU SAS システム 11 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : TAIJYUU*KYOUI. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + A | A A | A 75 + AA BA A A | A ACABIBCBB A | A A BCAADBEF AA A 50 + A A AA | | 25 + ---+-----------+-----------+-----------+-----------+-- 40 60 80 100 120 KYOUI SAS システム 12 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : TAIJYUU*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... TAIJYUU | 100 + A | A A | A 75 + AA AAAA A | A AABCAB BCAA B BBB A | B A A A A BAAACBEAAABB A 50 + A A AA | | 25 + --+---------+---------+---------+---------+---------+---------+- 50 55 60 65 70 75 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 13 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*PRED1. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A BBAA A A a 0 +------A--------A-A-A-A---BAABBCDB-BCAA-BA-CB-------A------------- l | A AA A A A AAB AABB C A | -25 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 50 55 60 65 70 75 80 Predicted Value of TAIJYUU SAS システム 14 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*SHINTYOU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A A A A B B A a 0 +----------------A-A-----A-C-D-A-G-A-B-B-BAC-A-A-BA--B---A---A---- l | A B A A A A A A A A A A A BAA A A | -25 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 155 160 165 170 175 180 185 SHINTYOU SAS システム 15 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*KYOUI. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A BD B a 0 +------------A---------A--A-AB-AE-CAHCBE--B--A---A-------- l | A ABB C DADA A | -25 + ---+------------+------------+------------+------------+-- 40 60 80 100 120 KYOUI SAS システム 16 16:41 Wednesday, July 4, 2009 プロット : RESID1*TAIJYUU. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + e | s | A i 25 + A A d | A u | A AAB A A AA a 0 +----------------AAA---FAED-GBAB-DB------A------------------------ l | A A A CAABAE A B A | -25 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 40 50 60 70 80 90 100 TAIJYUU SAS システム 17 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Moments N 71 Sum Wgts 71 Mean 0 Sum 0 Std Dev 7.70527 Variance 59.37119 Skewness 2.013612 Kurtosis 5.673909 USS 4155.983 CSS 4155.983 CV . Std Mean 0.914447 T:Mean=0 0 Pr>|T| 1.0000 Num ^= 0 71 Num > 0 27 M(Sign) -8.5 Pr>=|M| 0.0568 Sgn Rank -260 Pr>=|S| 0.1374 W:Normal 0.837353 Pr<W 0.0001 SAS システム 20 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Stem Leaf # Boxplot 3 3 1 * 2 5 1 * 2 4 1 0 1 6 1 0 1 0 1 | 0 5566799 7 | 0 111222222334444 15 +--+--+ -0 4444444333333322221111110 25 *-----* -0 99877766655555555 17 +-----+ -1 21 2 | ----+----+----+----+----+ Multiply Stem.Leaf by 10**+1 SAS システム 21 16:41 Wednesday, July 4, 2009 Univariate Procedure Variable=RESID1 Residual Normal Probability Plot 32.5+ * | | * * 17.5+ * ++++++ | +++++++ | ++++***** 2.5+ +++******** | *********** | * *********+ -12.5+ * *+++++++ +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ -2 -1 0 +1 +2

結果の見方
- 単変量毎の相関が有意なのは、身長と体重、体重と胸囲の間。
- 対象になったのは 71名。
- 回帰に役立っているか : 役立っている : 0.01% だから 1% で有意
- 決定係数(R-square)は 27.8%
- 個々の説明変量が予測に役立っているか?
  - 係数がゼロか? : 定数項も身長も胸囲も有意(1% で有意)
- 残差の性質 ===> 正規性 : 残差プロット、残差解析
  - 均等に散らばっているか?
  - 傾向はないか? : 傾向があると言うことは正規性の仮定が崩れていること
  - 外れ値? 85Kg より重い 3名程度が吟味対象?
[演習1] : 「男性のみ」で、かつ「体重の大きい 3名を除外」して実行してみよ。
- プログラム : les1203.sas、出力結果 : les1203.lst
  where sex='M' and taijyuu<85;
- 当てはまりは良くなったか? : 異常値と外れ値の意味するもの
- 残差の正規性はどのように変化したか?

[要点] 解析する上での注意点
- 残差解析を行なう
- 残差に傾向はないか? : バナナカーブ、ラッパ状、...
- 対象集団を単質のものに絞る : 男性だけ、18歳だけ、...
- 外れ値を持つ個体を除外する : 標準体型の者だけ、...
- ただし、恣意的な除外は謹むべきである
- 「外れ値」と「異常値」は区別して取り扱う・識別する : 「外れて」いても「異常」かどうかは別
  - 外れ値 : 大多数のデータから大きく離れた値
  - 異常値 : 通常ではあり得ない入力ミス等の異常な値
- 上記以外に「多重共線性(multi-colinearity)」の問題もある。逆行列が取れなくなる。不安定な解。
誤用?!
- 構造がシンプルで理解し易い分、"変な"利用も散見される
- 内挿(観測点の内側)はまだしも、外挿(観測点の外側)を予測するのは難しい or 無謀。
- 予測範囲でデータの構造が一定という"条件"が必要。
- 線形で表現できる関係なのか? 線形の関係式が有効なのか? 非線型?
- 自分で判断できる能力を持つこと。疑うこと。
　[例1] 人間の成長曲線
　[例2] 将来のプログラマ必要数予測 : 21世紀(?)には国民全員がプログラマ ('80s)
　[例3] オリンピック 100m 走の男女記録 : 2156年には女性の方が速い (2004.09.30) :
　　　　　　　Japan Journal LTD の記事 , Japan Journal LTD の記事 , 朝日新聞の記事
　　　　　[究極の命題!] 100m に 0.00秒要する(!?)ようになるのは何時?
4つの尺度と回帰分析
- 名義尺度(nominal scale) : 性別、職業、支持政党。分類の項目。
- 順序尺度(ordinal scale) : 成績の優・良・可・不可。順序関係あり。「優と良の差」が「可と不可の差」に等しいわけではない。
- 間隔尺度(interval scale) : セ氏やカ氏で測定された温度。原点は任意。
- 比率尺度(ratio scale) : 長さ、重さ。間隔尺度に加えて絶対原点が存在。
- 質的データ : 名義尺度、順序尺度。離散変量とも。
- 量的データ : 間隔尺度、比率尺度。連続変量とも。
- 離散変量を回帰分析で用いるには注意が必要である。線形関係と言えるのか? 割り当てた値を変更したら影響力が変化する。
有効桁数に注意せよ : どこまでが「意味ある桁」か?
測定精度上回る計算結果は出せても、意味はない。
[重要な注意] 統計ソフトは単なる道具。使いこなすのは各自。
　 [例1] 四捨五入の数値で考えてみれば : 精度(正確さ)が異なることに注意
　 [例2] 日本の観測史上の最高気温は、2007(平成19)年8月16日に熊谷市と多治見市で観測された40.9度であり、最低気温は、1902(明治35)年1月25日に北海道旭川市の-41度であった。===> -41.0度
　 [例3] 2001年のイチロー選手の打率は3割5分であった。 2006年は3割3分1厘であった。===> 3割5分0厘

回帰分析における変数選択 : 　回帰分析では回帰係数や重相関係数を知ることだけでなく残差解析も重要であることを強調したつもりである。次に説明変数の取捨選択(変数選択)について説明する。

今までのモデル : 指定した説明変数全てを取り込んで計算 : フルモデル

影響力の大きい説明変数だけをモデルに取り込みたい。

たくさんの説明変数の中から影響力の大きい、いくつかの変数を選別する。

幾つかの選択方法がある :

逐次増減法(stepwise)
前進選択法(forward)
後退選択法(backward)、...

総当たり法(rsquare)

全部の組合わせを概観してみたい : 総当たり
モデルの探索用 : どの組合わせを使うと説明力が大きいか

例題 : アメリカの大気汚染データ : usair2.prn
- 41都市、7変数。
- 7変量 : 都市名, SO2(二酸化硫黄)濃度, 気温, 製造業数, 人口, 風速, 降雨量, 降雨日数
- SO2 濃度を他の 6変数で説明してみよう。
- 6変数の中には影響力が大きいものがあるはずだ。<==> 逆も
- 参考 : 大気汚染物質広域監視システム「そらまめ君」とその測定項目

プログラム : les1204.sas

/* Lesson 12-4 */ /* File Name = les1204.sas 07/05/09 */ data air; infile 'usair2.prn'; input id $ y x1 x2 x3 x4 x5 x6; /* label y='SO2 of air in micrograms per cubic metre' x1='Average annual temperature in F' x2='Number of manufacturing enterprises employing 20 or more workers' x3='Population size (1970 census); in thousands' x4='Average annual wind speed in miles per hour' x5='Average annual precipitation in inches' x6='Average number of days with precipitation per year' ; */ proc print data=air(obs=10); run; proc corr data=air; run; proc reg data=air; : model y=x1 x2 x3 x4 x5 x6; : フルモデル output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : run; : proc plot data=outreg1; plot resid1*pred1 /vref=0; : plot resid1*x1 /vref=0; : ズラズラと列記 plot resid1*x2 /vref=0; : plot resid1*x3 /vref=0; : plot resid1*x4 /vref=0; : plot resid1*x5 /vref=0; : plot resid1*x6 /vref=0; : plot resid1*y /vref=0; : run; proc reg data=air; : model y=x1-x6 / selection=stepwise; : 逐次増減法 output out=outreg1 predicted=pred1 residual=resid1; : 連続変数の指定方法 run; : proc print data=outreg1(obs=15); run; proc plot data=outreg1; plot resid1*pred1 /vref=0; : plot resid1*(x1 x2 x3 x4 x5 x6) /vref=0; : 簡略形(上と比較せよ) plot resid1*(x1-x6) /vref=0; : 簡略形(これも同じ意味) plot resid1*y /vref=0; : run; proc reg data=air; : model y=x1-x6 / selection=rsquare; : 総当たり法 run; :

出力結果 : les1204.lst
SAS システム 1 10:28 Thursday, July 5, 2009 OBS ID Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 1 Phoenix 10 70.3 213 582 6.0 7.05 36 2 Little_R 13 61.0 91 132 8.2 48.52 100 3 San_Fran 12 56.7 453 716 8.7 20.66 67 4 Denver 17 51.9 454 515 9.0 12.95 86 5 Hartford 56 49.1 412 158 9.0 43.37 127 6 Wilmingt 36 54.0 80 80 9.0 40.25 114 7 Washingt 29 57.3 434 757 9.3 38.89 111 8 Jacksonv 14 68.4 136 529 8.8 54.47 116 9 Miami 10 75.5 207 335 9.0 59.80 128 10 Atlanta 24 61.5 368 497 9.1 48.34 115 SAS システム 2 10:28 Thursday, July 5, 2009 Correlation Analysis 7 'VAR' Variables: Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 Simple Statistics Variable N Mean Std Dev Sum Minimum Maximum Y 41 30.0488 23.4723 1232.0 8.0000 110.0 X1 41 55.7634 7.2277 2286.3 43.5000 75.5000 X2 41 463.1 563.5 18987.0 35.0000 3344.0 X3 41 608.6 579.1 24953.0 71.0000 3369.0 X4 41 9.4439 1.4286 387.2 6.0000 12.7000 X5 41 36.7690 11.7715 1507.5 7.0500 59.8000 X6 41 113.9 26.5064 4670.0 36.0000 166.0 SAS システム 3 10:28 Thursday, July 5, 2009 Correlation Analysis Pearson Correlation Coefficients / Prob > |R| under Ho: Rho=0 / N = 41 Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 Y 1.00000 -0.43360 0.64477 0.49378 0.09469 0.05429 0.36956 0.0 0.0046 0.0001 0.0010 0.5559 0.7360 0.0174 X1 -0.43360 1.00000 -0.19004 -0.06268 -0.34974 0.38625 -0.43024 0.0046 0.0 0.2340 0.6970 0.0250 0.0126 0.0050 X2 0.64477 -0.19004 1.00000 0.95527 0.23795 -0.03242 0.13183 0.0001 0.2340 0.0 0.0001 0.1341 0.8405 0.4113 X3 0.49378 -0.06268 0.95527 1.00000 0.21264 -0.02612 0.04208 0.0010 0.6970 0.0001 0.0 0.1819 0.8712 0.7939 X4 0.09469 -0.34974 0.23795 0.21264 1.00000 -0.01299 0.16411 0.5559 0.0250 0.1341 0.1819 0.0 0.9357 0.3052 X5 0.05429 0.38625 -0.03242 -0.02612 -0.01299 1.00000 0.49610 0.7360 0.0126 0.8405 0.8712 0.9357 0.0 0.0010 X6 0.36956 -0.43024 0.13183 0.04208 0.16411 0.49610 1.00000 0.0174 0.0050 0.4113 0.7939 0.3052 0.0010 0.0 SAS システム 5 10:28 Thursday, July 5, 2009 Model: MODEL1 Dependent Variable: Y Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Prob>F Model 6 14754.63603 2459.10601 11.480 0.0001 Error 34 7283.26641 214.21372 C Total 40 22037.90244 Root MSE 14.63604 R-square 0.6695 Dep Mean 30.04878 Adj R-sq 0.6112 C.V. 48.70761 SAS システム 6 10:28 Thursday, July 5, 2009 Parameter Estimates Parameter Standard T for H0: Variable DF Estimate Error Parameter=0 Prob > |T| INTERCEP 1 111.728481 47.31810073 2.361 0.0241 X1 1 -1.267941 0.62117952 -2.041 0.0491 X2 1 0.064918 0.01574825 4.122 0.0002 X3 1 -0.039277 0.01513274 -2.595 0.0138 X4 1 -3.181366 1.81501910 -1.753 0.0887 X5 1 0.512359 0.36275507 1.412 0.1669 X6 1 -0.052050 0.16201386 -0.321 0.7500 SAS システム 14 13:09 Thursday, July 5, 2009 プロット : RESID1*Y. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... | R 50 + A e | s | A i 25 + d | A A AA u | AA AA A A A A a 0 +------AB------AAABA-A---------A--------------------------A------- l | CAA C A | ABA A -25 + A ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 0 20 40 60 80 100 120 Y SAS システム 15 10:28 Thursday, July 5, 2009 Stepwise Procedure for Dependent Variable Y Step 1 Variable X2 Entered R-square = 0.41572671 C(p) = 23.10893175 DF Sum of Squares Mean Square F Prob>F Regression 1 9161.74469120 9161.74469120 27.75 0.0001 Error 39 12876.15774782 330.15789097 Total 40 22037.90243902 Parameter Standard Type II Variable Estimate Error Sum of Squares F Prob>F INTERCEP 17.61057438 3.69158676 7513.50474182 22.76 0.0001 X2 0.02685872 0.00509867 9161.74469120 27.75 0.0001 Bounds on condition number: 1, 1 ------------------------------------------------------------------------ Step 2 Variable X3 Entered R-square = 0.58632019 C(p) = 7.55859687 DF Sum of Squares Mean Square F Prob>F Regression 2 12921.26717485 6460.63358743 26.93 0.0001 Error 38 9116.63526417 239.91145432 Total 40 22037.90243902 Parameter Standard Type II Variable Estimate Error Sum of Squares F Prob>F INTERCEP 26.32508332 3.84043919 11272.71964000 46.99 0.0001 X2 0.08243410 0.01469656 7548.02378137 31.46 0.0001 X3 -0.05660660 0.01429968 3759.52248365 15.67 0.0003 Bounds on condition number: 11.43374, 45.73494 ------------------------------------------------------------------------ Step 3 Variable X6 Entered R-square = 0.61740155 C(p) = 6.36100514 DF Sum of Squares Mean Square F Prob>F Regression 3 13606.23518823 4535.41172941 19.90 0.0001 Error 37 8431.66725079 227.88289867 Total 40 22037.90243902 Parameter Standard Type II Variable Estimate Error Sum of Squares F Prob>F INTERCEP 6.96584888 11.77690656 79.72552238 0.35 0.5578 X2 0.07433399 0.01506613 5547.32153619 24.34 0.0001 X3 -0.04939437 0.01454421 2628.36952166 11.53 0.0016 X6 0.16435940 0.09480151 684.96801338 3.01 0.0913 Bounds on condition number: 12.65025, 78.63322 ------------------------------------------------------------------------ All variables left in the model are significant at the 0.1500 level. No other variable met the 0.1500 significance level for entry into the model. SAS システム 20 10:28 Thursday, July 5, 2009 Summary of Stepwise Procedure for Dependent Variable Y Variable Number Partial Model Step Entered Removed In R**2 R**2 C(p) F Prob>F 1 X2 1 0.4157 0.4157 23.1089 27.7496 0.0001 2 X3 2 0.1706 0.5863 7.5586 15.6705 0.0003 3 X6 3 0.0311 0.6174 6.3610 3.0058 0.0913 SAS システム 21 10:28 Thursday, July 5, 2009 OBS ID Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 PRED1 RESID1 1 Phoenix 10 70.3 213 582 6.0 7.05 36 -0.032 10.0316 2 Little_R 13 61.0 91 132 8.2 48.52 100 23.646 -10.6461 3 San_Fran 12 56.7 453 716 8.7 20.66 67 16.285 -4.2849 4 Denver 17 51.9 454 515 9.0 12.95 86 29.410 -12.4103 5 Hartford 56 49.1 412 158 9.0 43.37 127 50.661 5.3392 6 Wilmingt 36 54.0 80 80 9.0 40.25 114 27.698 8.3020 7 Washingt 29 57.3 434 757 9.3 38.89 111 20.079 8.9208 8 Jacksonv 14 68.4 136 529 8.8 54.47 116 10.011 3.9887 9 Miami 10 75.5 207 335 9.0 59.80 128 26.844 -16.8439 10 Atlanta 24 61.5 368 497 9.1 48.34 115 28.673 -4.6731 11 Chicago 110 50.6 3344 3369 10.4 34.44 122 109.181 0.8191 12 Indianap 28 52.3 361 746 9.7 38.74 121 16.840 11.1603 13 Des_Moin 17 49.0 104 201 11.2 30.85 103 21.697 -4.6973 14 Wichita 8 56.6 125 277 12.7 30.58 82 16.053 -8.0528 15 Louisvil 30 55.6 291 593 8.3 43.11 123 19.522 10.4776 SAS システム 35 13:09 Thursday, July 5, 2009 プロット : RESID1*Y. 凡例: A = 1 OBS, B = 2 OBS, ... 50 + A R | e | A s | AA i | A ABA A A A d 0 +--------BA-A--ABA-A-A---------A--------------------------A------- u | AC C B A A a | B A A A l | A | -50 + ---+---------+---------+---------+---------+---------+---------+-- 0 20 40 60 80 100 120 Y SAS システム 36 10:28 Thursday, July 5, 2009 N = 41 Regression Models for Dependent Variable: Y Number in R-square Variables in Model Model 1 0.41572671 X2 1 0.24381828 X3 1 0.18800913 X1 1 0.13657727 X6 1 0.00896628 X4 1 0.00294788 X5 -------------------------- 2 0.58632019 X2 X3 2 0.51611499 X1 X2 2 0.49813569 X2 X6 2 0.42138706 X2 X5 2 0.41938296 X2 X4 ≪略≫ 2 0.01204980 X4 X5 ----------------------------- 3 0.61740155 X2 X3 X6 3 0.61254683 X1 X2 X3 3 0.59304760 X2 X3 X5 3 0.59298732 X2 X3 X4 3 0.56222293 X1 X2 X5 3 0.54523587 X1 X2 X6 3 0.54521259 X1 X2 X4 3 0.50833841 X2 X4 X6 ≪略≫ 3 0.15899893 X4 X5 X6 -------------------------------- 4 0.63964257 X1 X2 X3 X5 4 0.63287070 X1 X2 X3 X4 4 0.62909408 X1 X2 X3 X6 4 0.62847667 X2 X3 X4 X6 4 0.61759495 X2 X3 X5 X6 4 0.60282531 X1 X2 X4 X5 4 0.59965327 X2 X3 X4 X5 4 0.57466704 X1 X2 X4 X6 ≪略≫ 4 0.25499437 X1 X4 X5 X6 ----------------------------------- 5 0.66850854 X1 X2 X3 X4 X5 5 0.65012088 X1 X2 X3 X4 X6 5 0.63964824 X1 X2 X3 X5 X6 5 0.62901313 X2 X3 X4 X5 X6 5 0.60403117 X1 X2 X4 X5 X6 5 0.50433666 X1 X3 X4 X5 X6 -------------------------------------- 6 0.66951181 X1 X2 X3 X4 X5 X6 -----------------------------------------

結果の見方
- フルモデル
- 逐次選択法(stepwise)
  - 変量増減法。
  - 一度取り込まれても、組合わせによっては削除される。
- 総当たり法(rsquare)
  - 説明変数の組合わせ毎の決定係数(R^2)が表示される : 大きい順に
  - モデルの探索用。
  - 決定係数 : R-Square : 1 に近いほど当てはまりが良いと言える
  - 説明変数が増えると大きくなるのが一般的
  - 興味のある組合わせを見つけ出して、このあと計算させる。残差解析も行うこと。
- 他に、前進選択法(forward)、後退選択法(backward)、...
- 「数値計算上の最適モデル」と「その分野の知識からの最適モデル」には違いがあることを知っておくこと。
- 残差解析はいつの場合でも必要
- ...

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